Question

Numa PA crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 27, e a soma dos termos de ordem par é 36. Determine: a) A PA. b) A razão. c) O sexagésimo quinto termo. d) a soma dos 100 primeiros termo​

Answer 1

a) (3, 6, 9, 12, 15, 18,...)

b) r = 3

c) a65 = 195

d) S = 15150

Explicação passo-a-passo:

Usaremos as seguintes equações:

$an = a1 + (n - 1)r \\ \\ S = \frac{(a1 + an) \times n}{2}$

Onde:

an é o último termo;

a1 o primeiro termo;

n o número de termos;

S é a soma de termos.

a)

Achar a P.A.

Os termos ímpares são: a1, a3 e a5.

Os termos pares são: a2, a4 e a6.

Vamos substituir na equação geral para achar quem é cada termo.

$an = a1 + (n - 1)r \\ a1 = a1\\ a2 = a1 + r \\ a3 = a1 + 2r \\ a4 = a1 + 3r \\ a5 = a1 + 4r \\ a6 = a1 + 5r$

Supondo que a1 é realmente ímpar vamos usar a consideração que fiz dos termos pares e ímpares usando a soma.

Na soma dos números ímpares o primeiro termo é a1 e o último é o a5. Na soma temos 3 termos, então:

$S = \frac{(a1 + a5) \times 3}{2} \\ 27= \frac{(a1 + a1 + 4r) \times 3}{2} \\ 27 \times 2 = (2a1 + 4r) \times 3 \\ \frac{54}{3} = (2a1 + 4r) \\ 18 = 2a1 + 4r$

Na soma dos termos pares temos o primeiro termo é o a2 e o último a6. Temos 3 termos sendo somados, então:

$S = \frac{(a2 + a6) \times 3}{2} \\ 36 = \frac{(a1 + r + a1 + 5r) \times 3}{2} \\ \frac{36 \times 2}{3} = (2a1 + 6r) \\ 24 = 2a1 + 6r$

Com esses valores faremos um sistema e acharemos quem é a1 e r, após isso achamos quem é a P.A.

$18 = 2a1 + 4r \\ 24 = 2a1 + 6r \\ \\ - 18 = - 2a1 - 4r \\ 24 = 2a1 + 6r \\ \\ 24 - 18 = 2a1 - 2a1 + 6r - 4r \\ 6 = 2r \\ r = \frac{6}{2} = 3 \\ \\ 18 = 2a1 + 4r \\ 18 = 2a1 + 4 \times 3 \\ 18 = 2a1 + 12 \\ 2a1 = 18 - 12 = 6 \\ a1 = \frac{6}{2} = 3$

Após montar o sistema e multiplicar a primeira linha por -1 e somar a linha de baixo achamos o a razão r, com a razão substituímos em uma das equações para achar quem é o a1.

Logo a P.A. é:

(3, 6, 9, 12, 15, 18)

b)

A razão já achamos pelo sistema e vale 3.

c)

O sexagésimo quinto termo é o a65.

Então:

$an = a1 + (n - 1)r \\ a65 = a1 + (65 - 1)r \\ a65 = a1 + 64r \\ a65 = 3 + 64 \times 3 \\ a65 = 3 + 192 = 195$

d)

A soma dos 100 primeiros termos são:

$S = \frac{(a1 + an) \times n}{2} = \frac{(a1 + a1 + 99r) \times 100}{2} = (2a1 + 99r) \times 50 = (2 \times 3 + 99 \times 3) \times 50 = (6 + 297) \times 50 = 303 \times 50 = 15150$