Question

Numa P.G. de três termos, a1, a2 e a3, a média aritmética entre os dois primeiros é igual a 6. A média aritmética entre o segundo e o terceiro é igual ao triplo da média citada inicialmente. Logo, qual é o valor de a1 + a2 + a3? * 12 pontos

Answer 1

$\sf P_G:(a_1 \ , a_2 , \ a_3 )\\\\ a_2 = a_1.q \\\\ a_3 = a_1.q^2$

A média aritmética entre o os dois primeiros é igual a 6 :

$\displaystyle \sf \frac{a_1+a_1.q }{2}= 6 \\\\ a_1 +a_1.q = 12$

A média aritmética entre o segundo e o terceiro é igual ao triplo da média anterior :

$\displaystyle \sf \frac{a_1.q+a_1.q^2}{2} = 3.6 \\\\\\ a_1.q+a_1.q^2 = 2.3.6 \\\\ a_1.q+a_1.q^2 = 36$

Daí :

$\displaystyle \sf \left\{ \begin{array}{I} \displaystyle\sf a_1+a_1.q = 12 \\\\ \sf a_1.q+ a_1.q^2 = 36 \end{array} \right \\\\\\ olhando\ para\ segunda\ equa{\c c}{\~a}o \\\\ \sf a_1.q+ a_1.q^2 = 36 \\\\ q.\underbrace{\sf (a_1+a_1.q)}_{12}=36 \\\\ q.12 = 36 \\\\ q = \frac{36}{12} \\\\ \boxed{\sf q = 3 }$

Daí :

$\sf a_1+a_1.q = 12 \\\\ a_1+a_1.3 = 12 \\\\ 4a_1 = 12 \\\\ \boxed{\sf a_1 = 3} \\\\ Da{\'i}}: \\\\ a_ 1 = 3 \ \ ; \ \ a_2 = 9 \ \ ;\ \ a_3 =27 \\\\ Portanto : \\\\\ a_1+a_2+a_3 = 3+9+27 \\\\ \boxed{\sf a_1+a_2+a_3 = 39}\checkmark$