Question

Numa P.G. de 5 termos, a soma dos dois primeiros é 18 e a soma dos dois últimos é 144. Qual é o quarto termo dessa P.G.?

Answer 1

Com base no cálculos realizados chegamos a conclusão de que o quarto termo é de $\large \displaystyle \mathsf{ a_4 = 48 }$.

Progressão geométrica (P.G.) é a sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante real. E é indicada por q.

Termo geral da P.G.

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_2 = a_1 \cdot q }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{a_3 = a_2 \cdot q \Rightarrow a_3 = \underbrace{ \sf a_1 \cdot q }_{a_2} \cdot q } \sf \Rightarrow } \large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_3 = a_1 \cdot q^2 }}$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{a_4 = a_3 \cdot q \Rightarrow a_4 = \underbrace{ \sf a_1 \cdot q^2 }_{a_3} \cdot q } \sf \Rightarrow } \large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_4 = a_1 \cdot q^3 }}$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{a_5 = a_4 \cdot q \Rightarrow a_5 = \underbrace{ \sf a_1 \cdot q^3 }_{a_4} \cdot q } \sf \Rightarrow } \large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_5 = a_1 \cdot q^4 }}$

De modo geral, o termo $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n }$ , que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_n = a_1 \cdot q^{n-1} }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 +a_2 = 18 \\ \\ \sf a_4 + a_5 = 144 \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf a_1 + a_1 \cdot q = 18 \\ \\ \sf a_1 \cdot q^3 + a_1 \cdot q^4 = 144 \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf a_1 \cdot ( 1 + q ) = 18 \\ \\ \sf a_1 \cdot q^3 \cdot ( 1 + q) = 144 \end{cases} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{\diagup\!\!\!{ a_1} \cdot q^3\cdot \diagup\!\!\!{ (1+ q) }}{\diagup\!\!\!{ a_1 } \cdot \diagup\!\!\!{ (1+ q)} } = \dfrac{144}{18} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ q^3 = 8 \Rightarrow q^{\diagup\!\!\!{ 3} }=2^{\diagup\!\!\!{ 3}} \Rightarrow q = 2 } }$

Determinar o primeiro termo:

$\large \displaystyle \mathsf{ a_1 \cdot ( 1 + q) = 18 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ a_1 \cdot ( 1 + 2) = 18 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 3 \cdot a_1 = 18 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ a_1 = \dfrac{18}{3} } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_1 = 6 }$

O enunciado que calculemos o quarto termo.

$\large \displaystyle \mathsf{ a_4 = a_1 \cdot q^3 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ a_4 = 6 \cdot 2^3 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ a_4 = 6 \cdot 8 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_4 = 48 }$

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