Question

numa P.A. crescente de 5 termos,o último e o primeiro termos são respectivamente,as raizes da equação Xsobre2-12x-64=0 calcule essa razão

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tplem, como você já informou a escrita correta da equação (x²-12x-64 = 0), então vamos responder ao que pede a sua questão, que tem o seguinte enunciado:

Numa P.A. crescente de 5 termos, o último e o primeiro termos são respectivamente,as raízes da equação x² - 12x - 64 = 0. Calcule a razão dessa PA.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos logo encontrar as raízes da equação dada, com a aplicação da fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b+-√(Δ)]/2a

Veja que os coeficientes da equação da sua questão [x² - 12x - 64 = 0] bem como o Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = - 12 --- (é o coeficiente de x)
c = - 64 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = (-12)² - 4*1*(-64) = 144 + 256 = 400

Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-(-12)+-√(400)]/2*1
x = [12 +- √(400)/2 ----- como √(400) = 20, teremos:
x = [12 +- 20]/2 ----- daqui você conclui que as duas raízes são estas:
x' = (12-20)/2 = (-8)/2 = - 4
x'' = (12+20)/2 = (32)/2 = 16

ii) Assim, como a PA é crescente e temos que as raízes são x' = - 4 e x'' = 16, então o primeiro termo dessa PA será "-4" e o último termo (que é o quinto termo) será o "16".
Assim, se você aplicar a fórmula do termo geral de uma PA, terá encontrado a sua razão. Veja que o termo geral de uma PA é dado por:

an = a₁ + (n-1)*r

No caso da sua questão, o último termo será o 5º termo (a5), que, por sua vez, já vimos que é igual a "16" e que é a raiz maior da equação dada. Por seu turno, "a₁" será o primeiro termo e que já vimos que é igual a "-4" e que é a raiz menor da equação dada. Finalmente, temos que "n" é igual a "5", pois a PA tem 5 termos.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

16 = -4 + (5-1)*r
16 = - 4 + (4)*r --- ou apenas:
16 = - 4 + 4r ---- passando "-4" para o 1º membro, temos:
16 + 4 = 4r
20 = 4r ---- vamos apenas inverter, ficando:
4r = 20
r = 20/4
r = 5 <--- Esta é a resposta. Esta é a razão pedida da PA da sua questão.

Bem, a resposta já está dada, pois a  questão pede apenas o valor da razão da PA. Mas por mera curiosidade, vamos ver qual será essa PA, com todos os  seus 5 termos. Como já temos o primeiro termo (a₁ = -4) e temos a razão (r = 5), então para encontrar os demais basta fazer:

a₁ = - 4
a₂ = - 4+5 = 1
a₃ = 1+5 = 6
a₄ = 6+5 = 11
a₅ = 11+5 = 16.

Assim, a PA crescente da sua questão, com todos os seus 5 termos, é esta:

(-4; 1; 6; 11; 16).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.