Question

Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:

a) Menos de 570 horas.
b) Mais de 700 horas.
c) Entre 516 e 814 horas.

como calcular ?

Answer 1

C) Entre 516 e 814 horas

Answer 2

Para a resposta do exercício é necessário ler toda explicação, assim fica mais fácil de entender, tudo bem?

Todas vezes que tratamos de distribuição normal, há um percentual estipulado de eventos previsto para cada ponto da curva, levando em conta o Desvio Padrão, explicando de maneira mais fácil, estatisticamente sabemos quantas unidades estarão entre cada duração, no caso do nosso exemplo.

Isto é baseado no Gráfico 1, para deixar mais claro inclui o gráfico em anexo, no nosso exemplo é esperado que das 1000 lâmpadas, 34,13% durem entre 800 e 900 horas, ou seja 341,3 (arredondando 343 unidades).

Tudo bem, esse gráfico existe, mas a duração que queremos está dentro destes grupos, não exatamente em uma ponta ou outro, para estes casos, temos uma tabela auxiliar, chamada Tabela de Distribuição Normal, que se encontra no Anexo II.

Para usarmos esta tabela devemos achar o "z", que trará o percentual da amostra que se encontra neste espaço pedido, para achar o Z usamos a seguinte fórmula:

Ζ =  $\frac{x - u}{σ}$

Onde:

Z: é o número que iremos usar na tabela.

x: valor esperado

u = Média

σ = Desvio Padrão

Ah, uma dica para a utilização da tabela, as colunas referem ao último digito de Z, então se Z= 1,41, procuramos por 1,4 nas linhas e 0,01 nas colunas, neste caso = 0,4207.

Então vamos para resolução dos exercícios:

a) Menos de 570 horas.

Ζ =  $\frac{570- 800}{100}$

Ζ =  $\frac{-230}{100}$

Ζ =  - 2,3  = convertendo tabela = 0,4893 = 48,93%

Porém temos uma pegadinha aí, como vemos na imagem da A, queremos tudo que é inferior a 570, e esse percentual que encontramos foi de 570 até a média, que é 800.

Como a média está no centro, tudo que esta a direita dela equivale a 50% e tudo que esta a esquerda dela equivale a 50%.

Como podemos ver tudo que é inferior a 570 horas será 50% (metade a esquerda da média) - 48,93% (espaço entre 570 e a média) = 1,07%

1,07% de 1000 = 10,7 , ou arredondando = 11 unidades.

b) Mais de 700 horas.

Ζ =  $\frac{700 - 800}{100}$

Ζ =  $\frac{-100}{100}$

Ζ =  - 1 = convertendo tabela = 0,3413

Ou seja, 34,13%  das lâmpadas estarão dentre 700 até a média, que é 800,  mas como é no mínimo 700, devemos considerar também a outra metade do gráfico, que equivale a 50%.

Portanto = 34,13% + 50% = 84,13% de 1000 = 841 unidades

c) Entre 516 e 814 horas.

Neste caso vamos calcular o Z dos dois:

Ζ1 =  $\frac{516 - 800}{100}$

Ζ1 =  $\frac{-284}{100}$

Ζ1 =  $\frac{-284}{100}$

Z1 = -2,84 = convertendo tabela = 0,4977

Ζ2 =  $\frac{14}{100}$

Ζ2 = 0,14 = convertendo tabela = 0,0557

Para achar o intervalo de 814 e 516 fazemos:

Z2 - Z1 = 0,0557 - 0,4977 = - 0,442 = 44,20% = 442 unidades de 1000.