Question

Numa divisão de dois inteiros, o quociente é $16$ e o resto $167$. Determinar o maior inteiro que se pode somar ao dividendo e ao divisor sem alterar o quociente.

Answer 1

Sejam $a$ e $b$ inteiros, sendo $b\ne 0.$


Se $a$ for o dividendo e $b$ for o divisor na divisão descrita no enunciado, devemos ter

$a=16b+167~~~~~~\text{onde }167<b~~~~~~\mathbf{(i)}$

( o resto é sempre menor que o divisor )

____________________

$\bullet\;\;$ Queremos encontrar o maior valor inteiro $k$ de forma que

$a+k=16(b+k)+r~~~~~~\text{onde }0\le r\le b+k-1~~~~~~\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ De $\mathbf{(i)},$ segue que

$167<b\\\\ 167+k<b+k\\\\ 167+k-1<b+k-1\\\\ 166+k<b+k-1~~~~~~\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo $\mathbf{(i)}$ em $\mathbf{(ii)},$ temos

$(16b+167)+k=16(b+k)+r\\\\ 16b+167+k=16b+16k+r\\\\ 167+k=16k+r\\\\ 15k=167-r~~~~~~\mathbf{(iv)}$


De acordo com $\mathbf{(iv)},$ $167-r$ deve ser um múltiplo de $15.$

Se tomarmos $r=2,$ obteremos o maior múltiplo de $15,$ correspondente ao valor máximo de $k$ que estamos procurando.

$15k=167-2\\\\ 15k=165\\\\ \boxed{\begin{array}{c}k=11 \end{array}}$


Confirmando se o $r$ utilizado satisfaz a condição $\mathbf{(ii)}$ para o $k$ encontrado:

Note que

$0\le 2\le 177\\\\ 0\le 2\le 166+11<b+11-1\\\\ \therefore~~0\le r\le b+k-1~~~~~~(\checkmark)$


Logo, o valor inteiro procurado é 11.