Question

Numa determinada cidade a população cresce numa taxa 3% ao ano. em quantos anos a população dessa cidade duplicará?
Dados: log 2= 0,30103 e log 3= 2,01284

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se que: "Numa determinada cidade a população cresce numa taxa 3% ao ano. Em quantos anos a população dessa cidade duplicará?

Dados: log (2)= 0,30103 e log (103)= 2,01284".

Bem, com os dados acima, vamos resolver a questão. Note que consideramos log (103) = 2,01284 e não log (3), como estava inicialmente posto.

Vamos chamar a população de "P". Se ela cresce a uma taxa de 3% ao ano (ou 0,03 ao ano), e queremos saber com quanto tempo ela dobra, então faremos isto:

P*(1+0,03)ⁿ = 2P
P*(1,03)ⁿ = 2P ----- vamos dividir ambos os membros por "P", ficando:
(1,03)ⁿ = 2

Agora vamos aplicar logaritmo (base 10) a ambos os membros, ficando:

log (1,03)ⁿ = log (2) ---- passando o expoente multiplicando, ficaremos com:

n*log (1,03) = log (2) .

Agora veja: foi dado que log (103) = 2,01284. Nesse caso o log (1,03) será igual a "0,01284", pois se a característica do log (103) é igual a "2", então a característica do log (1,03) será igual a "0". Note que a característica é o  número que vem antes da vírgula e é encontrada da seguinte forma: número de algarismos inteiros menos "1" unidade. Como "103" tem 3 algarismos inteiros (não decimais), então "3-1 = 2". Por isso é que o log (103) = 2,01284. Mas note que o número decimal "1,03" tem apenas um algarismo na parte inteira (o restante é decimal). Assim, o seu logaritmo terá característica "0", pois: "1 - 1 = 0", permanecendo a mesma mantissa (que é a parte que vem depois da vírgula) do log (103).
Assim, consideraremos que o log(1,03) = 0,01284.
Então vamos fazer as devidas substituições na expressão acima, e que é esta:

n*log (1,03) = log (2) ----- substituindo-se log (1,03) por 0,01284 e substituindo-se log (2) por "0,30103", teremos:

n*0,012184 = 0,30103 ------- isolando "n", teremos:
n = 0,30103/0,01284 ---- veja que esta divisão dá "23,44" bem aproximado. Assim:

n = 23,44 anos <--- Esta é a resposta (se quiser, poderá "arredondar" para apenas 23 anos. Ou seja, a cidade dobrará a população em 23,44 anos ou em apenas 23 anos (arredondando-se). 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.