Question

Numa cidade do litoral de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam alguma atividade esportiva, enquanto que entre os nãoalérgicos essa porcentagem é de 40%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade dele
(a) não praticar atividade esportiva;
(b) ser alérgico, dado que não pratica atividade esportiva.

Answer 1

Seja $\Omega$ o conjunto de todos os indivíduos da população em questão.

O número de indivíduos desta população é

$\#(\Omega)=x\neq 0.$


$\bullet\;\;$ Consideremos o evento

$E_{1}=\{\omega \in \Omega\left|\;\omega\text{ \'{e} al\'{e}rgico}\right.\}$


Como a probabilidade de um indivíduo ser alérgico é de $20\%,$ temos que

$p(E_{1})=20\%$


Logo, a probabilidade de um indivíduo não ser alérgico é de

$p(\overline{E_{1}})=1-20\%\\ \\ p(\overline{E_{1}})=100\%-20\%\\ \\ p(\overline{E_{1}})=80\%$


$\bullet\;\;$ O número de indivíduos alérgicos é

$\#(E_{1})=20\% \cdot x\\ \\ \#(E_{1})=\dfrac{x}{5}$


E o número de indivíduos não alérgicos é

$\#(\overline{E_{1}})=80\% \cdot x\\ \\ \#(\overline{E_{1}})=\dfrac{4x}{5}$


$\bullet\;\;$ Consideremos também o seguinte evento:

$E_{2}=\{\omega \in \Omega\left|\;\omega\text{ pratica atividade esportiva}\right.\}$


De acordo com o enunciado, o número total de indivíduos que praticam alguma atividade esportiva é

$\#(E_{2})=50\%\cdot \#(E_{1})+40\%\cdot \#(\overline{E_{1}})\\ \\ \#(E_{2})=50\%\cdot \dfrac{x}{5}+40\%\cdot \dfrac{4x}{5}\\ \\ \\ \#(E_{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{5}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{4x}{5}\\ \\ \\ \#(E_{2})=\dfrac{x}{10}+\dfrac{8x}{25}\\ \\ \\ \#(E_{2})=\dfrac{5x}{50}+\dfrac{16x}{50}\\ \\ \\ \#(E_{2})=\dfrac{21x}{50}$


a) A probabilidade de um indivíduo não praticar atividade esportiva é

$p(\overline{E_{2}})=1-p(E_{2})\\ \\ \\ p(\overline{E_{2}})=1-\dfrac{\#(E_{2})}{\#(\Omega)}\\ \\ \\ p(\overline{E_{2}})=1-\dfrac{\frac{21\diagup\!\!\!\! x}{50}}{\diagup\!\!\!\! x}\\ \\ \\ p(\overline{E_{2}})=\dfrac{50}{50}-\dfrac{21}{50}\\ \\ \\ p(\overline{E_{2}})=\dfrac{29}{50}=58\%$


b) A probabilidade de o indivíduo ser alérgico, dado que não pratica atividade esportiva.

Nesta questão, queremos calcular $p(E_{1}|\overline{E_{2}}).$


Sabemos que

$\boxed{\begin{array}{c} p(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=p(\overline{E_{2}})\cdot p(E_{1}|\overline{E_{2}}) \end{array}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

(a fórmula $\mathbf{(i)}$ acima nos fornece a probabilidade de um indivíduo ser alérgico, e não praticar atividade esportiva)


$\bullet\;\;$ Mas, pelo enunciado, $50\%$ dos alérgicos também praticam alguma atividade esportiva, ou seja

$\#(E_{1}\cap E_{2})=50\%\cdot \#(E_{1})\\ \\ \#(E_{1}\cap E_{2})=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{5}\\ \\ \\ \#(E_{1}\cap E_{2})=\dfrac{x}{10}$


$\bullet\;\;$ Como $E_{2}$ e $\overline{E_{2}}$ são complementares, devemos ter

$\#(E_{1}\cap E_{2})+\#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\#(E_{1})\\ \\ \\ \dfrac{x}{10}+\#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{x}{5}\\ \\ \\ \#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{x}{5}-\dfrac{x}{10}\\ \\ \\ \#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{2x}{10}-\dfrac{x}{10}\\ \\ \\ \#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{x}{10}$


Portanto, a probabilidade de um indivíduo ser alérgico e não praticar atividade esportiva é

$p(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{\#(E_{1}\cap \overline{E_{2}})}{\#(\Omega)}\\ \\ \\ p(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{\frac{\diagup\!\!\!\! x}{10}}{\diagup\!\!\!\! x}\\ \\ \\ p(E_{1}\cap \overline{E_{2}})=\dfrac{1}{10}=10\%$


$\bullet\;\;$ Substituindo em $\mathbf{(i)}$ os valores conhecidos, obtemos

$10\%=58\%\cdot p(E_{1}|\overline{E_{2}})\\ \\ \\ p(E_{1}|\overline{E_{2}})=\dfrac{10\%}{58\%}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}p(E_{1}|\overline{E_{2}})=\dfrac{5}{29}\approx 17,2\% \end{array}}$


A probabilidade de um indivíduo ser alérgico, dado que ele não pratica atividade esportiva é de $17,2\%,$ aproximadamente.