Question

Numa caixa na forma de um paralelepípedo, temos as seguintes dimensões: volume 75000cm3 e suas dimensões são proporcionais a 3, 4 e 5. Calcule a área total dessa caixa.

Answer 1

O volume por definição é o produto das três dimensões de um objeto: largura, comprimento e espessura. O exercício nos indica que o volume de um certo objeto é 75 000 cm³, e que suas dimensões x, y e z são proporcionais a 3, 4 e 5 respectivamente. Oras, vamos primeiro tentar determinar uma expressão matemática que simule essa condição:

Primeiro vamos relacionar as dimensões com suas proporsões para uma incógnita "w":

x=3w, y=4w, z=5w, essas relações iram nos ser bastante úteis no futuro.

O volume "V" de um objeto é dado por:

V=x.y.z

Substituindo as incógnitas x, y e z pelas relações obtidas:
V=(3w).(4w).(5w) => V=60w³

Sabemos que o volume "V" do objeto em estudo é equivalente á 75 000, logo substiruimos este valor no lugar da incógnita e encontramos o valor de "w":

75 000=60w³ => 75 000/60=w³ => 1250=w³ => ³√1250=w => w=5(³√10) -> obs: ³√10 significa raiz cúbica de 10

Agora com o valor de "w" nas mãos, podemos usar as relações que apontamos ser úteis, para descobrir o valor das incógnitas x,y e z:

x=3(5(³√10)) => x=15(³√10)
y=4(5(³√10)) => y=20(³√10)
z=5(5(³√10)) => z=25(³√10)

Com o comprimento de todas as dimensões agora podemos calcular a área total "At" de um objeto.

Sabemos que um paralelepípedo tem 6 faces, duas com dimensões comprimentoxlargura (x.y), duas comprimentoxaltura (x.z) e outras duas alturaxlargura (y.z):

A área de uma face é calculada a partir da expressão:

A=x.y ou A=x.z ou A=y.z

Como existem duas faces iguais de cada uma:

A1=2x.y ou A2=2.x.y ou A3=2.y.z

A soma das áreas das 6 faces será nossa área total "At", e como cada expressão representa a área de duas faces:

At=A1+A2+A3 => At=2xy+2xz+2yz

Substituindo as incógnitas pelas nossas relações:

At= 2(15[³√10])(20[³√10])+2(15[³√10])(25[³√10])+2(20[³√10])(25[³√10]) =>

At=2(300[10(³√10)])+2(375[10(³√10)])+2(500[10(³√10)]) -> obs. 10(³√10) foi obtido da multiplicação de (³√10) por (³√10).

At=6000(³√10)+7500(³√10)+10000(³√10)

At= (6000+7500+10000)(³√10)

At =23500(³√10)

At=50629.21521574926 (Através de uma calculadora científica)

At≈50 0629.2 cm²

Bem, este foi o resultado que obtive, caso você tenha o gabarito e esteja errado ou por acaso ache um erro, por favor me corrija...