Question

num tubo, como o representado, flui água com um fluxo constante.,
A)em qual dos tubos (A,B ou C) o líquido atingirá maior altura? porquê?
b) qual deve ser a velocidade da água em A para que em B tenha uma velocidade de 20m/s?
C) calcule a diferença de alturas entre as superfícies livres do líquido nos tubos B e C.​

Answer 1

Olá.

Hipóteses adotadas:

• H1: Escoamento incompressível;
• H2: Fluido newtoniano com propriedades termodinâmicas constantes;
• H2: As tomadas de pressão estão próximas umas das outras, as perdas de carga localizada e distribuídas são desprezíveis;
• H3: Escoamento aproximadamente unidimensional.

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Para respondermos a, aplicamos Bernoulli:

$p_A+\dfrac{\rho V_A^2}{2}+\rho g h_A =p_B+\dfrac{\rho V_A^2}{2}+\rho g h_B =p_C+\dfrac{\rho V_C^2}{2}+\rho g h_C$ (i)

Consideramos que os pontos da linha de corrente da equação de Bernoulli estão na mesma altura, então desprezamos as parcelas de altura:

$p_A+\dfrac{\rho V_A^2}{2} =p_B+\dfrac{\rho V_B^2}{2} =p_C+\dfrac{\rho V_C^2}{2}$ (ii)

Temos que C e A apresentam o mesmo diâmetro. Portanto a velocidade deles é a mesma($V_A=V_C$). Se compararmos Bernoulli para A e C, resulta, por conta disso que $p_A=p_C$ [Somente válido se não houver perda de carga. Se existir a pressão de C será menor]

Já para A e B, temos que a velocidade de B é maior(Como Q = V.A, B terá uma velocidade maior para compensar a área menor, por conta da vazão ser constante). Se isolarmos a pressão de A em Bernoulli, temos:

$p_A = p_B+ \dfrac{\rho}{2}(V_B^2 -V_A^2)$   (iii)

Dado $V_B > V_A$ (como mostrei acima), segue que $V_B^2-V_A^2 > 0$ e, portanto, a pressão de A será a pressão de B somada a um termo positivo, resultando que $\boxed{p_A > p_B}$

A altura da coluna de água dos tubos de medida expressam a pressão do ponto. Como a maior pressão é a de A e C(sem as perdas), então A e C teremos maior altura. A menor altura está presente em B.

Se, ainda, fossem consideradas as perdas de atrito e localizadas, teríamos que a maior altura seria a de A, mas nesse caso não seria usada a equação de Bernoulli, e sim a da energia(pois a de Bernoulli por definição despreza as perdas do escoamento).

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b)

Vamos inicialmente aplicar a conservação da massa entre A e B:

$\dot{m}_A=\dot{m}_B\\\\\rho_A Q_A = \rho _B Q_B\overset{H1}\Rightarrow Q_A=Q_B$

Como a vazão Q é o produto de velocidade por área e temos um tubo(seção circular, segue:

$V_A \left(\dfrac{\pi D_A^2 }{4}\right)=V_B \left(\dfrac{\pi D_B^2 }{4}\right)\\\\ V_A D_A^2 =V_B D_B^2 \\\\ V_A (15)^2=20 (10)^2 \\\\ \boxed{V_A=8,89~m/s}$

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c) Já vimos que $p_A=p_C$ e suas velocidades são as mesmas(pois as tubulações têm o mesmo diâmetro). Vamos usar a equação (iii) e substituir A por C. Como queremos a  diferença de nível, separamos $p_C-p_B$.

$p_C = p_B+ \dfrac{\rho}{2}(V_B^2 -V_C^2)$

Substituímos os valores, assumindo que a massa específica da água vale 1000 kg:

$p_C-p_B=\dfrac{1000}{2}(20^2-8,89^2)\\\\ p_C-p_B=160494 ~Pa$

Falta descovbrir quanto essa diferença é em metros de coluna de água. Para isso, basta dividir por $\rho_{agua} \cdot g$. Veja aqui que não faz diferença qual massa específica que supomos para a água anteriormente.

$\dfrac{p_C-p_B}{\rho g}=h_C-h_B=\dfrac{160494}{1000\cdot 10}\\\\ \boxed{h_C-h_B=16 ~m}$

A princípio ose pensa que este valor é muito elevado, mas isto é razoável. Uma atmosfera equivale a cerca de 10 metros de coluna de água, então esta diferença não é um valor absurdo.

Este valor é alto porque a velocidade nos tubos é elevada e os diâmetros  são pequenos. Além disso, a mudança do diâmetro da seção foi de 50%, o que é muito intensa. Se interessar, pesquise "Medidor Venturi", que tem esta proposta de mudar seção e medir as diferençãs de pressão para se obter vazão.