Question

Num triângulo ABC sabe-se que med (Â) = 45°, med (B) = 60° e a = 5m. Calcule o perímetro do triângulo. (Dado sen 75° = 0,966)

urgentemente me respondam pfv só falta 3 questões vou postando aos poucos​

Answer 1

Vamos começar construindo o triângulo descrito no enunciado e, para isso, como nada mais foi dito, assumiremos que o lado "a" de medida 5m é o lado oposto ao ângulo  de medida 45°.

Obs.: O triângulo pode ser conferido no desenho anexado à resolução.

Note que fica faltando um dos ângulos internos do triângulo, o ângulo $\sf \hat{C}$, determinaremos ele utilizando a soma dos ângulos internos do triângulo que, para todo triângulo, vale 180°:

$\sf \hat{A}~+~\hat{B}~+~\hat{C}~=~180^\circ\\\\45^\circ~+~60^\circ~+~\hat{C}~=~180^\circ\\\\\hat{C}~=~180^\circ~-~45^\circ~-~60^\circ\\\\\boxed{\sf \hat{C}~=~75^\circ}$

Precisamos calcular a medida dos outros dois lados do triângulo para, posteriormente, podermos calcular seu perímetro.

Observe então que,  como temos informação de todos ângulos e de um dos lados do triângulo, podemos utilizar a lei dos senos para determinar os lados restantes.

Nota: As medidas aproximadas de "c" e "b" e perímetro, mostradas ao final de cada cálculo, serão dadas a título de curiosidade e/ou para dar uma noção melhor dessas medidas em relação a "a", não devem ser tomadas como resposta.

Lado "c":

$\sf \dfrac{c}{sen(\hat{C})}~=~\dfrac{a}{sen(\hat{A})}\\\\\\\dfrac{c}{sen(75^\circ)}~=~\dfrac{5}{sen(45^\circ)}\\\\\\\dfrac{c}{0,966}~=~\dfrac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\\c~=~\dfrac{5\cdot 0,966\cdot }{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\\c~=~5\cdot 0,966\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}\\\\\\c~=~5\cdot \dfrac{966}{1000}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\c~=~5\cdot \dfrac{483}{500}\cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{2}\\\\\\c~=~\dfrac{483}{100}\cdot \sqrt{2}$

$\boxed{\sf c~=~\dfrac{483\sqrt{2}}{100}~m~\approx~6,83~m}$

Lado "b": Como, agora, temos conhecimento de dois dos lados do triângulo além de seus três ângulos, poderíamos também utilizar agora a lei dos cossenos, porém nesta situação os cálculos ficariam mais trabalhosos, então vamos permanecer com a alternativa utilizada anteriormente.

$\sf \dfrac{b}{sen(\hat{B})}~=~\dfrac{a}{sen(\hat{A})}\\\\\\\dfrac{b}{sen(60^\circ)}~=~\dfrac{5}{sen(45^\circ)}\\\\\\\dfrac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}~=~\dfrac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\\b~=~\dfrac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\b~=~5\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\b~=~5\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\b~=~\dfrac{5\sqrt{3\cdot 2}}{2}\\\\\\\boxed{\sf b~=~\dfrac{5\sqrt{6}}{2}~m~\approx~6,12~m}$

Finalizando, basta somarmos as medidas dos três lados para determinarmos a medida do perímetro (P) desse triângulo:

$\sf P~=~a~+~b~+~c\\\\\\P~=~5~+~\dfrac{5\sqrt{6}}{2}~+~\dfrac{483\sqrt{2}}{100}\\\\\\\boxed{\sf P~=~\dfrac{500+250\sqrt{6}+483\sqrt{2}}{100}~m~~\approx~17,95~m}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$