Question

Num triangulo ABC retangulo em A de altura relativa a hipotenusa AH,sendo med AC=16 cm e med BC=20 cm,determine as medidas da projeçao de cada cateto sobre a hipotenusa,med BH e med CH

Answer 1

Pelo Teorema de Pitágoras, $AB^2+AC^2=BC^2$.

Como $AC=16~\text{cm}$ e $BC=20$, temos:

$AB^2+16^2=20^2$, ou seja, $AB^2+256=400$.

Assim, $AB^2=400-256=144$ e obtemos $AB=\sqrt{144}=12~\text{cm}$.

Dado um triângulo retângulo com hipotenusa $a$, catetos $b$ e $c$ e altura relativa a hipotenusa igual a $h$, vale que, $ah=bc$.

Assim, sendo $h$ a altura relativa a hipotenusa do triângulo retângulo $ABC$, temos:

$20h=12\times16$

Deste modo, $h=\dfrac{12\times16}{20}=9,6~\text{cm}$.

Chamando as projeções dos catetos sobre a hipotenusa de $m$ e $n$, temos: (sendo $a$ a hipotenusa e $h$ a altura relativa hipotenusa)

$a=m+n$ e $h^2=mn$

Assim, $m+n=20$ e $mn=(9,6)^2=92,16$.

Logo, as medidas dessas projeções são raízes da equação $x^2-20x+92,16=0$.

Temos que, $\Delta=(-20)^2-4\cdot1\cdot(92,16)=31,36$.

Deste modo, $x=\dfrac{-(-20)\pm\sqrt{31,36}}{2}=\dfrac{20\pm5,6}{2}$.

Logo, $x'=m=\dfrac{20+5,6}{2}=12,8$ e $x"=n=\dfrac{20-5,6}{2}=7,2$.

Portanto, as projeções procuradas medem $12,8$ e $7,2~\text{cm}$ .