num triângulo abc os pontos médios dos lados ab, bc e ac são m(-2,8), n(-1,-1) e p(4,-2), respectivamente. Determine as coordenadas dos vértices a, b e C.
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Ao ligarmos M, N e P aos vértices opostos, obtemos as medianas deste triângulo. As medianas se cruzam em um ponto comum, o BARICENTRO, cujas coordenadas representam a média aritmética das coordenadas dos vértices. Porém, o mesmo baricentro é obtido quando consideramos o triângulo MNP.
Calculando o baricentro (G) a partir do triângulo MNP:
xG = (- 2 - 1 + 4)/3 = 1/3
yG = (8 - 1 - 2)/3 = 5/3
Logo o baricentro é G (1/3, 5/3).
O baricentro situa-se no terço proximal aos pontos médios quando consideramos as distâncias entre os pontos médios e os vértices opostos. Observando a posição relativa entre G e os pontos médios, podemos somar o dobro desta distância ao ponto G e encontrar os respectivos vértices A, B e C.
- Analisando M e G para obtenção de C:
M (-2, 8) e G (1/3, 5/3): G está à direita e abaixo de M, logo o vértice C estará mais à direita e mais abaixo ainda.
A distância entre as abcissas é |- 2 - 1/3| = 7/3
A distância entre as ordenadas é |8 - 5/3| = 19/3
xC será igual a xG MAIS o dobro da distância entre xM e xG:
xC = 1/3 + 2.7/3 = 15/3 = 5
yC será igual a yG MENOS o dobro da distância entre yM e yG:
yC = 5/3 - 2.19/3 = - 33/3 = - 11
- Analisando N e G para obtenção de A:
N (- 1, - 1) e G (1/3, 5/3): G está à direita e acima de N, logo o vértice A estará mais à direita e mais acima ainda.
A distância entre as abcissas é |- 1 - 1/3| = 4/3
A distância entre as ordenadas é |- 1 - 5/3| = 8/3
xA será igual a xG MAIS o dobro da distância entre xN e xG:
xA = 1/3 + 2.4/3 = 9/3 = 3
yA será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yN e yG:
yA = 5/3 + 2.8/3 = 21/3 = 7
- Analisando P e G para obtenção de B:
P (4, - 2) e G (1/3, 5/3): G está à esquerda e acima de P, logo o vértice B estará mais à esquerda e mais acima ainda.
A distância entre as abcissas é |4 - 1/3| = 11/3
A distância entre as ordenadas é |- 2 - 5/3| = 11/3
xB será igual a xG MENOS o dobro da distância entre xP e xG:
xB = 1/3 - 2.11/3 = - 21/3 = - 7
yB será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yP e yG:
yB = 5/3 + 2.11/3 = 27/3 = 9
Portanto, os vértices são:
A (3, 7)
B (- 7, 9)
C (5, - 11).
Calculando o baricentro (G) a partir do triângulo MNP:
xG = (- 2 - 1 + 4)/3 = 1/3
yG = (8 - 1 - 2)/3 = 5/3
Logo o baricentro é G (1/3, 5/3).
O baricentro situa-se no terço proximal aos pontos médios quando consideramos as distâncias entre os pontos médios e os vértices opostos. Observando a posição relativa entre G e os pontos médios, podemos somar o dobro desta distância ao ponto G e encontrar os respectivos vértices A, B e C.
- Analisando M e G para obtenção de C:
M (-2, 8) e G (1/3, 5/3): G está à direita e abaixo de M, logo o vértice C estará mais à direita e mais abaixo ainda.
A distância entre as abcissas é |- 2 - 1/3| = 7/3
A distância entre as ordenadas é |8 - 5/3| = 19/3
xC será igual a xG MAIS o dobro da distância entre xM e xG:
xC = 1/3 + 2.7/3 = 15/3 = 5
yC será igual a yG MENOS o dobro da distância entre yM e yG:
yC = 5/3 - 2.19/3 = - 33/3 = - 11
- Analisando N e G para obtenção de A:
N (- 1, - 1) e G (1/3, 5/3): G está à direita e acima de N, logo o vértice A estará mais à direita e mais acima ainda.
A distância entre as abcissas é |- 1 - 1/3| = 4/3
A distância entre as ordenadas é |- 1 - 5/3| = 8/3
xA será igual a xG MAIS o dobro da distância entre xN e xG:
xA = 1/3 + 2.4/3 = 9/3 = 3
yA será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yN e yG:
yA = 5/3 + 2.8/3 = 21/3 = 7
- Analisando P e G para obtenção de B:
P (4, - 2) e G (1/3, 5/3): G está à esquerda e acima de P, logo o vértice B estará mais à esquerda e mais acima ainda.
A distância entre as abcissas é |4 - 1/3| = 11/3
A distância entre as ordenadas é |- 2 - 5/3| = 11/3
xB será igual a xG MENOS o dobro da distância entre xP e xG:
xB = 1/3 - 2.11/3 = - 21/3 = - 7
yB será igual a yG MAIS o dobro da distância entre yP e yG:
yB = 5/3 + 2.11/3 = 27/3 = 9
Portanto, os vértices são:
A (3, 7)
B (- 7, 9)
C (5, - 11).
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