Question

Num triângulo ABC, o segmento AB = 5√ 2 , o segmento BC = 5 o ângulo formado entre eles mede x e o ângulo C = 45o. Calcule o ângulo x.

Answer 1

Vamos achar o ângulo  usando área :

$\displaystyle \sf \frac{AC\cdot AB\cdot sen(A)}{2} = \frac{AC\cdot BC\cdot sen(45^\circ)}{2} \\\\\\ AB\cdot sen(A) = BC\cdot sen(45^\circ) \\\\ 5\sqrt{2}\cdot sen(A) = 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\\\ sen(A) = \frac{1}{2} \\\\\\ A = 30^\circ$

Daí basta fazer a soma dos ângulo internos de um triângulo :

$\sf 30^\circ+45^\circ+x=180^\circ \\\\ x=180^\circ-45^\circ-30^\circ \\\\ x = 180^\circ-75^\circ \\\\ \huge\boxed{\sf\ x = 105^\circ\ }\checkmark$

obs : o ângulo A não pode ser obtuso (maior que 90º) porque num triângulo o seno um ângulo obtuso que da 1/2 é o ângulo 150º, mas a questão disse que C = 45º, daí se assumirmos que o ângulo A é obtuso a soma dos ângulo internos já passaria de 180º...

150º +45º + x = 180

x = 30-45

x = -15º ( absurdo )  

Outra forma de fazer : Lei dos senos :

Primeiro vamos achar o ângulo em A em função de x :
$\displaystyle \sf A^\circ +45^\circ+x=180^\circ \\\\ A^\circ = 180^\circ-45^\circ-x \\\\ A ^\circ = 135^\circ-x$

Aplicando lei dos senos :
$\displaystyle \sf \frac{BC}{sen(A^\circ)}=\frac{AB}{sen(C^\circ)} \\\\\\ \frac{5}{sen(135^\circ-x)}=\frac{5\sqrt{2}}{sen(45^\circ)} \\\\\\ \frac{5}{sen(135^\circ-x) }=\frac{5\sqrt{2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} } \\\\\\ 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{5\sqrt{2}} = sen(135^\circ-x) \\\\\\ sen(135^\circ-x) = \frac{1}{2}\\\\ sen(135^\circ-x) = sen(30^\circ) \\\\ 135^\circ-x=30^\circ \\\\ x = 135^\circ-30^\circ \\\\ \huge\boxed{\sf \ x = 105^\circ \ }\checkmark$