Question

Num referencial o. n. do plano considere os pontos
A(-1, 2), B(1, - 1) e C(5, 0).

1. Determine o valor de AB. AC.

2. Determine, em graus com aproximação às décimas, a amplitude do ângulo dos vectores AB e AC.

3. Determine, em graus com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo ABC.

Answer 1

Resposta:

1 ) ( AB. AC ) = 18

2 ) 37,9 º  ( gráfico anexo 1 )

3 )

Explicação passo a passo:

1 )

vetor AB = B - A = ( 1 ; - 1 ) - ( - 1 ; 2 ) = ( 1 - ( - 1 ) ; ( - 1 - 2 ) = ( 2 ; - 3 )

vetor AC = C - A = ( 5,0 ) - ( -1 ; 2 ) = ( 5 - (- 1 ) ; ( 0 - 2 ) ) = (6 ; - 2 )

Produto escalar AB . BC = ( 2 ; - 3 ) * ( 6 ; - 2 ) = 12 + 6 = 18

2 )

Produto escalar é através da fórmula:

(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )

Observação → Norma de um vetor genérico AB ( a ; b )

$|| AB || =\sqrt{a^2+b^2}$

$|| AB || = \sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9} =\sqrt{13}$

$|| AC || =\sqrt{6^2+(-2)^2} =\sqrt{36+4} =\sqrt{40}$

Aplicando a fórmula

(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )

$18=\sqrt{13} *\sqrt{40} *cos(angulo...AB...AC)$

$18=\sqrt{13*40} *cos(angulo...AB...AC)$

$18=\sqrt{520} *cos(angulo...AB...AC)$

$cos(angulo...AB...AC)=\dfrac{18}{\sqrt{520} }$

$cos(angulo...AB...AC)=0,789$  

Usamos a função em que se calcula o " arco cujo cosseno  é 0,789 ".

Função inversa de cosseno.

$arc(cos) (0.789)=?$

$arc(cos) (0.789)=37,9$

3 )

Amplitude ângulo ABC =  formado pelos vetores AB e BC

vetor AB = ( 2 ; - 3 )

Vetor BC = C - B = ( 5 ; 0 )  - ( 1 ; - 1 ) = ( ( 5 - 1 ) ; ( 0 - ( -1 )) = ( 4 ; 1 )

$|| AB || =\sqrt{13}$

$|| BC || =\sqrt{4^2+1^2} =\sqrt{17}$

AB . BC = ( 2 ; - 3 ) . ( 4 ; 1  ) = ( 2* 4 + (- 3 * 1) ) = 8 - 3 = 5          

 

Aplicando a fórmula

(vetor a) . (vetor b) = || a || . || b || * cos( ângulo entre "vetor a" e "vetor b" )

$5=\sqrt{13} *\sqrt{17} *cos(angulo...AB ....BC )$

$cos(angulo...AB ....BC )=\dfrac{5}{\sqrt{221} }$

$cos(angulo...AB ....BC )=0,336$

$(arc(cos) (0.336))=?$

$(arc(cos) (0.336))=70,36$  

∡ ABC = 70 º   ( aproximação às unidades )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    ( . ) produto escalar de dois vetores

||   ||  norma de um vetor