Question

Acerca dos vectores u e v sabe-se que:
• (u + v) . (u - v) = 10 ;
• (u + v)^2 = (u + v) . (u + v) = 10;
•u .v = -10
Determine a norma de v.

Answer 1

Só consegui chegar à conclusão de que V = -U

Answer 2

Resposta:

|| v || = √10

Explicação passo a passo:

Dados:

→  (u + v) . (u - v) = 10

→  (u + v)^2 = (u + v) . (u + v) = 10

→  u .v = -10

Pedido:

|| v || = ?

Resolução:

Pegando na primeira igualdade, e aplicando a Propriedade Distributiva da

Multiplicação em relação à adição algébrica

Início de cálculos

(u + v) . (u - v) = 10

⇔ u . u - u . v + v . u - v . v = 10

"- u . v "  e " v . u " são opostos ( simétricos ) cancelam-se na adição

e

u . u = || u ||²

u . u - u . v + v . u - v . v = 10

⇔  || u ||² - || v ||² = 10

Agora na segunda igualdade

(u + v)^2 = (u + v) . (u + v) = 10

Novamente Propriedade Distributiva

⇔ u . u + u . v + v . u + v . v = 10

⇔ || u ||² + u . v + u . v + || v || ² = 10  Propriedade comutativa ( u . v = v . u  )

⇔ || u ||² + 2 * (u . v ) + || v || ² = 10

Agora temos duas equações podendo montar um sistema de equações

{  || u || - || v ||² = 10

{ || u ||² + 2 * (u . v )+ || v || ² = 10

Vou usar Método de Substituição

{  || u || = 10 + || v ||²

{ || u ||² + 2 * (u . v )+ || v || ² = 10

Como  "  u .v = - 10 "

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²          

{ 10 + || v ||² + 2 * ( - 10 ) + || v || ² = 10

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²

{ 10 + 2 * || v ||² - 20 = 10      

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²

{ 2 * || v ||² = 10 - 10 + 20

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²

{ 2 * || v ||² =  20       dividir tudo por 2    

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²

{ 2 / 2 * || v ||² =  20 / 2

⇔

{  || u || = 10 +  || v ||²

{ || v ||² =  10

Já só temos

|| v ||² =  10

⇔

|| v || = + √10     ou    || v || = - √10  ( rejeitar esta solução )

porque a norma ( dimensão ) de um vetor vem sempre positiva

|| v || = √10

Fim de cálculos

Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores

1ª )   Propriedade comutativa

v . w = w . v

2ª)   Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²

Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.

v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )

Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.

cos ( 0 º ) = 1

Logo

v . v = || v|| * || v || * 1

v . v = || v|| * || v ||

v . v = || v||²

3ª)   Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )

u . ( v + w ) = u . v + u . w

4ª)  Propriedade associativa

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5ª)   Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K

|kv| = |k| |v|

6ª)   |u.v| ≤ |u| |v|    ( desigualdade de Schwarz )

7ª)   |u+v| ≤ |u| + |v|   ( desigualdade triangular)

Bons estudos.    

------------------------------------

( . )  produto interno de vetores      ( * ) multiplicação     ( / ) divisão

||     ||  norma de um vetor