Question

Num plano α,temos dois vetores a e b de mesma origem formando um ângulo θ. Se os módulos de a e de b são, respectivamente, iguais a 6 u e 8 u, determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes: θ = 0°; θ = 180°; θ = 90° e θ = 60°.
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Answer 1

Como os vetores a e b, possuem a mesma origem no plano $\alpha$ mas angulos variáveis, podemos determinar o módulo do vetor soma utilizando vários métodos, como a Lei dos Cossenos.

O teorema dos cossenos estabelece que "Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles." . Assim, pela lei dos cossenos temos a seguinte relação:

$s^{2} = a^{2}  + b^{2} +2*a*b*cos$θ

a) Como o angulo formado pelos vetores é de 0°, isso significa que eles possuem a mesma direção e sentido, logo, para achar o seu vetor soma basta somar os vetores:

s = a + b

s = 6 + 8 = 14

Portanto, a soma dos vetores a e b, com θ = 0° é 14

b) Como o angulo entre os vetores é de 180°, isso indica que eles possuem a mesma direção mas sentidos opostos. Logo, o módulo da sua força será dada por:

| s |  = a - b

| s | = 6 - 8

| s | = 2

Portanto, a soma dos vetores a e b, com θ = 180° é 14

c) Como os vetores a e b tem a mesma origem e possuem um angulo θ = 90°, dizemos que eles são ortogonais e podemos calcular o seu vetor soma por Pitágoras:

$s^{2} = a^{2}+ b^{2}  \\s^{2} = 6^{2}+ 8^{2}\\s = 5$

Portanto,  a soma dos vetores a e b, com θ = 90° é 5

d) Nesse caso podemos aplicar a Lei dos Cossenos, conforme observado abaixo:

$s^{2} = a^{2}  + b^{2} +2*a*b*cos$θ

$s^{2} = 6^{2}  + 8^{2} +2*6*8*cos60$

s = 6

Portanto,  a soma dos vetores a e b, com θ = 60° é 6

Espero ter ajudado.