Question

Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher 4 membros do grupo sendo que entre os 4 membros há 2 rapaz?

Answer 1

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Temos um grupo com 9 pessoas, das quais

•   2 são garotas;

•   7 são rapazes.


Deseja-se saber a quantidade de equipes com 4 membros, de modo que o grupo seja composto por

•   2 garotas

•   2 rapazes          (a soma 2 + 2 = 4, que é o total de membros do grupo)

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•   Com 2 garotas, a quantidade de maneiras que podemos escolher um conjunto formado com as duas é dada por

$\mathsf{C_{2,\,2}=1~maneira}$


•   Com 7 rapazes, a quantidade de maneiras que podemos escolher uma equipe com 2 deles é dada por

$\mathsf{C_{7,\,2}}\\\\ =\mathsf{\dfrac{7!}{2!\cdot (7-2)!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{7!}{2!\cdot 5!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{7\cdot 6\cdot \diagup\hspace{-7} 5!}{2!\cdot\diagup\hspace{-7} 5!}}$

$=\mathsf{\dfrac{7\cdot 6}{2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{42}{2}}\\\\\\ =\mathsf{21~maneiras.}$

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Portanto, pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras que se pode escolher 4 membros do grupo, sendo 2 rapazes é

$\mathsf{C_{2,\,2}\cdot C_{7,\,2}}\\\\ =\mathsf{1\cdot 21}\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{21~maneiras} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   contagem combinações simples princípio fundamental da contagem análise combinatória