Question

Num cesto havia entre 50 e 60 ovos que, contados de 3 em 3, sobravam 2 e contados de 5 em 5 sobravam 4. Qual era o número de ovos? *
1 ponto
54
59
52
57

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{59 \ ovos}}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $\displaystyle \mathtt{x}$ a quantidade de ovos. De acordo com o enunciado, se contarmos os ovos de três em três sobram dois. Então, temos que $\displaystyle \mathtt{\exists \, q' \in \mathbb{Z^\ast_+}}$ tal que $\displaystyle \mathtt{x = 3q' + 2}$.

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{50 < x < 60} \\ \mathsf{50 < 3q' + 2 < 60} \\ \mathsf{50 - 2 < 3q' + 2 - 2 < 60 - 2} \\ \mathsf{48 < 3q' < 58} \\ \mathsf{3 \cdot 16 < 3 \cdot q' < 3 \cdot 19 + 1}$.

Ou seja, existem três possibilidades para $\displaystyle \mathtt{q'}$. São elas: 17, 18 e 19.

De modo análogo, se contarmos os ovos de cinco em cinco teremos: $\displaystyle \mathtt{\exists \, q'' \in \mathbb{Z^\ast_+}}$ tal que $\displaystyle \mathtt{x = 5q'' + 4}$.

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{50 < x < 60} \\ \mathsf{50 < 5q'' + 4 < 60} \\ \mathsf{50 - 4 < 5q'' + 4 - 4 < 60 - 4} \\ \mathsf{46 < 5q'' < 56} \\ \mathsf{5 \cdot 9 + 1 < 5 \cdot q'' < 5 \cdot 11 + 1}$.

Isto é, existem duas possibilidades para $\displaystyle \mathtt{q''}$. São elas: 10 e 11.

Por fim, testamos $\displaystyle \mathtt{q'' = 10}$ e $\displaystyle \mathtt{q'' = 11}$. Note que quando $\displaystyle \mathtt{q'' = 10}$ teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{x = 5q'' + 4} \\ \mathsf{x = 5 \cdot 10 + 4} \\ \mathsf{x = 54}$

No entanto, $\displaystyle \mathtt{3 \, | \, 54}$ - três divide cinquenta e quatro. Assim, testamos a outra possibilidade...

$\\ \displaystyle \mathsf{x = 5q'' + 4} \\ \mathsf{x = 5 \cdot 11 + 4} \\ \boxed{\mathsf{x = 59}}$

 

Observe que, de fato, $\displaystyle \mathtt{59 = 3 \cdot 19 + 2}$. Ou seja, contando cinquenta e nove de três em três sobram dois ovos!