Question

Nos últimos anos, o preço de uma mercadoria tem aumentado 20% ao ano. Em quantos anos esse preço será o triplo do atual?

( Dado que : log 3 = 0,5 e log 12 = 1,08 )

A
5,25
B
6,25
C
5,75
D
6,75

Answer 1

Letra B 6,25.

Bom, a primeira coisa que devemos fazer entender que a porcentagem é uma fração de uma razão. Essa razão é sobre o número 100. Então 20% de algo significa que você dividiu algo por 100 e pegou 20 partes.

Outra coisa necessária é sabermos que o 100% é representado pelo número 1, então 20% seria:

$\frac{20}{100}=0,2$

Agora que sabemos disso, vamos utilizar a fórmula:

$M = C (1+i)^{t}$

O M é o montante, que no nosso caso será 3C. Pois queremos o triplo do valor. O C é o capital, que no nosso caso cortaremos com o C do 3C. O i é a taxa que queremos, no nosso caso será 20%. O t é o tempo, que é o que queremos achar.

Substituindo:

$3\not{C} = \not{C} (1+20)^t\\ 3 = (1+0,2)^t\\3 = 1,2^t$

Agora nós temos isso. Para acharmos o t utilizaremos log.

A própria questão nos deu log de 3 e de 12. Eles estão na base 10. Precisamos descobrir qual o log de 1,2. Para isso vamos precisar fazer:

$log3=log1,2^t\\\\log3=t\:\frac{log12}{log10}\\ \\log3=t*log12-log10\\\\0,5=t*1,08-1\\\\t=\frac{0,5}{0,08}=\boxed{6,25}$

O log de 10 na base 10 é 1, pois 10 elevado à 1 é igual à 10.

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