Question

No universo R, o conjunto solução do sistema de inequações $\begin{cases}\sf 3x-9<2x+2\\\\ \sf 5x\leq 6x+3\end{cases}$
é apresentado em uma das alternativas a seguir: Qual é a alternativa?

A) [3,7[
B)[3,7]
C)[-3,11[
D)[-3,11]
E){ }

(lembrete: O conjunto solução de um sistema de inequações é formado pelas soluções comuns às inequações que o compõem.)​

Answer 1

O conjunto solução do sistema de inequações é apresentado em: c) [– 3, 11[

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$\begin{cases}\tt3x-9 < 2x+2~\sf(i)\\\tt5x\leq6x+3~\sf(ii)\end{cases}$

Para encontrar o conjunto solução em $\mathbb{R}$ deste sistema é preciso antes determinar a solução destas inequações. O procedimento é simples e é o mesmo para resolver equações do 1º grau, mas com uma diferença que você verá na tentativa de inverter os sinais dos termos, observe:

⇒ Na ineq. (i):

$\tt3x-9 < 2x+2$

$\tt3x-2x < 9+2$

$\tt x < 11$

Logo, x ∈ ]– ∞, 11[.

⇒ Na ineq. (ii):

$\tt5x\leq6x+3$

$\tt5x-6x\leq3$

$\tt-\,x\leq3$ ⇒ multiplique a inequação para alternar o sinal da variável; com isso o sinal da desigualdade também será afetada.

$\tt[~\,-x\leq3~~]~\cdot~(-\,1)$

$\tt x\geq-\,3$

Logo, x ∈ [– 3, + ∞[.

Duas soluções encontradas, uma para cada inequação. Desse modo, fazendo a intersecção destes intervalos encontraremos a solução do sistema, pois assim teremos uma única solução que engloba os valores em comum de x das inequações (i) e (ii). Para facilitar, plote estes intervalos em retas reais e faça a intersecção logo em seguida (veja como fica na imagem em anexo). Lembrando que o colchete fechado e aberto num valor de referência (respectiva bolinha preta e branca nas retas reais) expressa que este valor, respectivamente, pertence ao intervalo e não pertence. Veja que se S(i) = ]– ∞, 11[ e S(ii) = [– 3, + ∞[, então a solução do sistema é ]– ∞, 11[ ∩ [– 3, + ∞[ = [– 3, 11[.

Portanto, o conjunto solução em notação intervalo está em: [– 3, 11[ ⇒ alternativa c).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.