Question

No triangulo XYZ, retângulo em X, a medida do angulo interno em Y é 30. Se M é a interseção da bissetriz do ângulo interno em Z com o lado XY, e a medida do segmento ZM é 6V3m, então, pode-se afirmar corretamente que o perímetro deste triângulo é uma medida, em metros, situada entre:

a)40 e 45
b)45 e 50
c)50 e 55
d)55 e 60

Answer 1

vamos lá...
Faz um desenho do triângulo colocando as medidas ( entenderá melhor)

Se é retângulo em X então X=90°  e Y=30°  logo  Z=60° (soma deles=180°)

Como ZM  mede 6√3m e é bissetriz de Z  Temos Z1=30°(bissetriz corta o ângulo ao meio ficando 2 ângulos iguais

YMZ ficou um triângulo isósceles pois ângulo Y=Z=30°

ZM=YN=6√3

vamos calcular o XM
Z=30°

$senZ= \frac{XM}{ZM} \\ \\ \frac{1}{2} = \frac{XM}{6 \sqrt{3} } \\ \\ XM= \frac{6 \sqrt{3} }{2} \\ \\ XM=3 \sqrt{3} \\ \\ \\ XY=XM+YM \\ \\ XY=3 \sqrt{3} +6 \sqrt{3} =9 \sqrt{3} m$ 

vamos calcular YZ
Y=30°

$cosY= \frac{XY}{YZ} \\ \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{9 \sqrt{3} }{YZ} \\ \\ YZ= \frac{18\not \sqrt{3} }{\not \sqrt{3} } \\ \\ YZ=18m$

vamos calcular XZ  usando teorema de Pitágoras
YZ= hipotenusa⇒18
XY= cateto⇒9√3
XZ=cateto

(YZ)²=(XY)²+(XZ)²
18²=(9√3)²+(XZ)²
324=(81.3)+(XZ)²
324=243+(XZ)²
324-243=(XZ)²
81=(XZ)²
XZ=√81
XZ=9m

Perímetro=XZ+YZ+XY
P=9m+18m+9√3=       9√3=9.1,7=15,3
P+9+18+15,3
P=42.3m

Está entre 40 e 45 Letra A

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

o triângulo retângulo que possui seus ângulos opostos iguais a 30° e 60°, seguem a seguinte proporcionalidade:

lado oposto ao â 30° = x

lado oposto ao â 60° = x√3

lado oposto ao â reto = 2x

Logo, podemos observar que o lado ZM corresponde ao lado oposto do â reto do triângulo ZXM, ou seja, é proporcional a 2x.

6√3 = 2x

x = 3√3

Aplicando x na lado XZ do triângulo XZM, que é oposto ao â 60°, temos que: x√3 = 3 · √3 · √3 -> x = 9

Agora é só aplicar no triângulo maior, XYZ, em que o lado XZ agora fica oposto ao â 30°, logo, igual a x.

o lado oposto ao â 60° = 9√3

o lado oposto ao â reto = 18

p = 9 + 18 + 9√3 = 42,3

Portanto, leta (a) é a correta.