Question

No triângulo retângulo ABC, DE é paralelo a BC, a medida do lado BC = 3 cme AB = 4 cm e EC = 3/2 cm. Calcule a área do triángulo CDE.

Answer 1

Como o triângulo é retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para achar o lado AC.

AC² = AB² + BC²

AC² = 4² + 3²

AC² = 16 + 9

AC² = 25

AC² = 5²

AC = 5

• Utilize que área DEC é igual a área ABC menos BDC, menos DEA.

AE = AC - EC

AE = 5 - 3/2

AE = 7/2

Semelhança entre ABC e ADE.

3/DE = 5 . 2/7

5DE = 21/2

DE = 21/10

Semelhança novamente.

4/AD = 5 . 2/7

5AD = 28/2

5AD = 14

AD = 14/5

Área de ADE => AD . DE/2

Área de ADE => 14/5 . 21/20

Área de ADE => 294/100

Área de ADE => 147/50

Área DBC => DB . BC/2

Área DBC => (4 - 14/5)(3/2)

Área DBC => 6/5 . 3/2

Área DBC => 9/5

Área ABC => 3 . 4/2

Área ABC => 3 . 2

Área ABC => 6

Área DEC => 6 - 9/5 - 147/50

Área DEC => (300 - 90 - 147)/50

Área DEC => (300 - 237)/50

Área DEC => 63/50

Resposta: 63/50 cm²

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\sf \overline{AC}=x,~\overline{AD}=y~e~\overline{DE}=z$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ABC:

$\sf x^2=3^2+4^2$

$\sf x^2=9+16$

$\sf x^2=25$

$\sf x=\sqrt{25}$

$\sf x=5~cm$

• Os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pelo caso AA, logo seus lados são proporcionais.

$\sf \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AE}}{\overline{AC}}$

$\sf \dfrac{y}{4}=\dfrac{5-\frac{3}{2}}{5}$

$\sf \dfrac{y}{4}=\dfrac{\frac{10-3}{2}}{5}$

$\sf \dfrac{y}{4}=\dfrac{\frac{7}{2}}{5}$

$\sf \dfrac{y}{4}=\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{1}{5}$

$\sf \dfrac{y}{4}=\dfrac{7}{10}$

$\sf 10y=4\cdot7$

$\sf 10y=28$

$\sf y=\dfrac{28}{10}$

$\sf y=\dfrac{14}{5}~cm$

• Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ADE:

$\sf \Big(5-\dfrac{3}{2}\Big)^2=\Big(\dfrac{14}{5}\Big)^2+z^2$

$\sf (5-1,5)^2=2,8^2+z^2$

$\sf 3,5^2=2,8^2+z^2$

$\sf 12,25=7,84+z^2$

$\sf z^2=12,25-7,84$

$\sf z^2=4,41$

$\sf z=\sqrt{4,41}$

$\sf z=2,1$

$\sf z=\dfrac{21}{10}~cm$

A área do triángulo CDE é:

$\sf A=\dfrac{b\cdot h}{2}$

• $\sf b=\overline{DE}=\dfrac{21}{10}~cm$

• $\sf h=\overline{DB}=4-\dfrac{14}{5}=\dfrac{6}{5}~cm$

$\sf A=\dfrac{\frac{21}{10}\cdot\frac{6}{5}}{2}$

$\sf A=\dfrac{\frac{126}{50}}{2}$

$\sf A=\dfrac{126}{50}\cdot\dfrac{1}{2}$

$\sf A=\dfrac{126}{100}$

$\sf \red{A=\dfrac{63}{50}~cm^2}$