Question

No triângulo equilátero ABC apresentado abaixo, M e N são pontos médios de dois de seus lados. As áreas dos triângulos BPN e PMC são, respectivamente, iguais a 2 m2 e 10 m2. A medida da área do quadrilátero PNAM, em m2, é igual a:
(A) 14
(B) 12
(C) 10
(D) 8

Answer 1

A área do quadrilátero PNAM é a área do triângulo ABC menos as áreas dos triângulos BPN e PMC.

1) M e N são pontos médios do triângulo equilátero, então concorda que os triângulos : $\Delta_{\text{BPN}} \ \text e \ \Delta_{\text{PMC}}$ possuem a mesma altura? (tem que concordar) .

Então vamos fazer a a proporção das áreas desses triângulos :

$\displaystyle \Delta_{\text{BPN}} \to \frac{\text{PB}.\text h}{2} = 2$

$\displaystyle \Delta_{\text{PMC}} \to \frac{\text{PC}.\text h}{2} = 10$

dividindo  :

$\displaystyle \Delta_{\text{BPN}} \to \frac{\displaystyle \frac{\text{PC}.\text h}{2}}{\displaystyle \frac{\text{PB}.\text h}{2} } =\frac{10}{2}$

$\displaystyle \text{PC} = 5.\text{PB }$

Pra facilitar, façamos PB = x. Logo PC = 5x.

Lado do triângulo ABC = 6.x

2) Área do triângulo ABC :

$\displaystyle \Delta_{\text{ABC}} = \frac{(6\text x)^2.\sqrt{3}}{4}$

$\displaystyle \Delta_{\text{ABC}} = 36.\frac{\text x^2.\sqrt{3}}{4}$

Agora vamos achar calcular a área do triângulo PMC da seguinte forma :

$\displaystyle \Delta_{\text{PMC}} \to \frac{\text{PC.CM.Sen}(60^{\circ})}{2}}=10$

$\displaystyle \Delta_{\text{PMC}} \to \frac{5\text x.3.\text x.\sqrt{3}}{2.2} =10$

$\displaystyle \Delta_{\text{PMC}} \to \frac{15.\text x^2.\sqrt{3}}{4} = 10$

$\displaystyle \Delta_{\text{PMC}} \to \boxed{\frac{\text x^2.\sqrt{3}}{4} = \frac{2}{3}}$

Portanto, a área que queremos é :

$\text S_{\text{PNAM}} = \text S_{\Delta\text{ABC}} - \text S_{\Delta\text{PMC}}-\text S_{\Delta\text{BPN}$

$\displaystyle \text S_{\text{PNAM}} = 36.\frac{\text x^2\sqrt{3}}{4} - 10 - 2$

$\displaystyle \text S_{\text{PNAM}} = 36.\frac{2}{3} - 12$

$\displaystyle \text S_{\text{PNAM}} = 24 - 12$

$\huge\boxed{\displaystyle \text S_{\text{PNAM}} = 12 }\checkmark$

Letra B

comentário : sempre que tiver triângulo com um vértice no mesmo ponto/reta, atente-se para a altura.

Triângulos com mesma altura possuem bases proporcionais.