Question

No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede √15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α/2 . Sabe-se, também, que 2cos(2α)+3cosα+1=0. Nessas condições, calcule

a) o valor de senα;

b) o comprimento do lado AC.

Answer 1

a) Como α é um ângulo agudo, obtemos;

I) 2 cos(2α) + 3 cos α + 1 = 0 ⇔
⇔ 2[2cos²α - 1] + 3cosα + 1 = 0 ⇔ 
⇔ 4 cos²α + 3 cosα -1 - (1/4)² 

 
II) sen²α = 15/16 ⇒ sen α = $\frac{ \sqrt{15} }{4}$


b) I) cos α = 2 cos² α/2 - 1 ⇔ cos² α/2 = 5/8 ⇒
⇒ cos α/2 = $\frac{ \sqrt{5} }{2 \sqrt{2} }$

II) cos α = 1 - 2 sen² α/2 ⇒ 1/4 = 1 - 2 sen² α/2 ⇔ 
⇔ sen² α/2 = 3/8 ⇒ sen α/2 = $\frac{ \sqrt{3} }{2 \sqrt{2} }$


III) sen (180º - 3α/2) = sen (3α/2) = sen (α + α/2) = 
= sen α . cos α/2 + sen α/2 . cos . α = 
= $\frac{ \sqrt{15} }{4} . \frac{ \sqrt{5} }{2 \sqrt{2} } + \frac{ \sqrt{3} }{2 \sqrt{2} } . \frac{1}{4} = <strong>\frac{3 \sqrt{3} }{4 \sqrt{2} }$


IV) Utilizando a lei dos senos no triângulo, encontramos:

BC/senA = AC/senB ⇒ BC/sen (180° - 3α/2) = AC/sen α/2 ⇔ 
⇔ $\frac{ \frac{ \sqrt{15} }{5} }{ \frac{3 \sqrt{3} }{4 \sqrt{2} } }$ = $\frac{AC}{ \frac{ \sqrt{3} }{2 \sqrt{2} } }$ ⇔
⇔ 3/4 AC = 1/2 . $\frac{ \sqrt{15} }{5}$ ⇔ 
⇔ AC = $\frac{2 \sqrt{15} }{15}$

As respostas encontradas foram?
a) $\frac{ \sqrt{15} }{4}$
b) $\frac{2 \sqrt{15} }{15}$