Question

No sólido da figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado medindo 4cm e AE = EB = 2√5. Determine o volume desse sólido.

Answer 1

O volume do sólido é 64⋅π/3 cm³.

• Observe que o sólido pode ser dividido em um cone com diâmetro de base AB e um cilindro com a mesma base do cone. Considere:

Vₒ: Volume do cone.

Vᵢ: Volume do cilindro

V: Volume do sólido.

A: Área da base (do cilindro e do cone, pois é a mesma)

hₒ: altura do cone.

hᵢ: altura do cilindro (4 cm).

• O volume do cone é obtido por:

$\large \sf V_o = \dfrac{1}{3} A \times h_o$

• O volume do cilindro é obtido por:

$\large \sf V_i = A \times h_i$

• O volume do sólido é a soma dos dois volumes.

V = Vₒ + Vᵢ

$\large \sf V = \dfrac{1}{3} A \times h_o + A \times h_i$  ⟹ Fatore: fator comum em evidência (A).

$\large \sf V = A \left(\dfrac{1}{3} \times h_o + h_i \right)$

• Determine a altura do cone (hₒ). Observe na figura anexa que hₒ pode ser obtido aplicando o teorema de Pitágoras.

$\large \sf \left (2 \sqrt 5 \right)^2 = h_o^2 + 2^2$

4×5 = hₒ² + 4

20 = hₒ² + 4 ⟹ Subtraia 4 de ambos os membros.

20 − 4 = hₒ²

hₒ² = 16 ⟹ Extraia a raiz quadrada de ambos os membros.

hₒ = 4 cm

• Determine o volume do sólido, observando que a área da base é π r², onde r é o raio do círculo, base do cone e do cilindro, e r é a metade de AB.

$\large \sf V = A \left(\dfrac{1}{3} \times h_o + h_i \right)$

$\large \sf V = \pi \cdot 2^2 \left(\dfrac{1}{3} \times 4 + 4 \right)$

$\large \sf V = \pi \cdot 2^2 \left(\dfrac{16}{3}\right)$

$\large \sf V = \pi \cdot 4 \left(\dfrac{16}{3}\right)$

$\large \sf V = \dfrac{64}{3} \pi ~ cm^3$

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