Física, perguntado por cleversonmello, 9 meses atrás

No sistema massa-mola abaixo, a massa m do bloco vale 0,300 kg e a constante elástica k da mola vale 1500 N/m.

Considere que no instante zero o bloco é solto, do repouso, de uma posição que fica a 20 cm da posição de equilíbrio do sistema, no sentido positivo do movimento. Neste caso, a função da posição para o sistema massa mola, em unidades do SI, é dada por:

a)
x (t) = 0,40sen (70,7 t)

b)
x (t) = 0,20sen (70,7 t)

c)
x (t) = 0,20cos (70,7 t)

d)
x (t) = 0,40cos (70,7 t)

e)
x (t) = 20sem (70,7 t)

Soluções para a tarefa

Respondido por macaibalaura

Resolvendo a EDO do movimento oscilatório, temos que a função posição da partícula é: $x(t):0,2.cos(50\sqrt{2}. t)$

Quando temos um sistema massa mola, a equação que usamos para força é: $F=k.x$

Mas o que nós queremos descobrir é a equação X(t), que nos da a posição em função do tempo. Então vamos escrever nossa força da seguinte forma:

$F=-k.x\\m.a=-k.x\\m.\frac{d^2.x}{dt^2}=-k.x\\\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{k}{m}.x$

Vamos chamar k/m de ω² por comodidade:

$\frac{d^2x}{dt^2}=-w^2.x$

Agora note que esta é uma EDO de segundo grau com solução bem conhecida:

$x(t)=Asen(w.t)+Bcos(w.t)$

Esta é a solução geral da EDO acima, mas para sabermos a solução especifica temos que introduzir nossa condição de contorno que é o fato de sabermos que em t=0 a mola esta em x=0,2, assim:

$x(t)=Asen(w.t)+Bcos(w.t)\\x(0)=A.sen(w.0)+Bcos(w.0)=0,2\\x(0)=B.1=0,2\\B=0,2$

Assim já sabemos parte da resposta:

$x(t)=A.sen(w.t)+0,2cos(w.t)$

Agora a outra condição de contorno, é que no t=0 a velocidade da mola era 0, pois ele partiu do repouso, e como a velocidade é a derivada do espaço:

$x(t)=Asen(w.t)+0,2cos(w.t)\\x'(t)=A.w.cos(w.0)+0,2.w.sen(w.t)=0,2\\x'(0)=A.w.1-0,2.w.0=0\\Aw=0\\A=0$