No sistema de coordenadas a seguir o triângulo ABC de vértices A(-1,1) B(1,5) C(3,1), calcule as medidas de cada um dos seus lados
Soluções para a tarefa
Resposta:
Como os ângulos B e C são iguais e medem 75°, então o triângulo ΔABC é isósceles.
O ângulo A mede 180 - 2.75 = 30°.
Por ser isósceles, a distância de A a B tem que ser igual a distância de A a C.
Sendo C = (x,y), temos que:
(-1 - 1)² + (5 - 1)² = (x - 1)² + (y - 1)²
(x - 1)² + (y - 1)² = 20 (*)
Utilizando os vetores AC = (x - 1, y - 1) e AB = (-2,4), podemos utilizar a fórmula de ângulo entre vetores:
Assim,
10√3 = -2x + 4y - 2
5√3 = -x + 2y - 1
x = 2y - 1 - 5√3 (**)
Substituindo (**) em (*):
(2y - 2 - 5√3)² + (y - 1)² = 20
5y² - 20√3y - 10y + 20√3 + 60 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau pela fórmula de Bháskara encontraremos como resultado y = 2√3 ou y = 2 + 2√3.
Se y = 2√3, então x = -1 - √3.
Se y = 2 + 2√3, então x = 3 - √3.
Portanto C = (-1 - √3, 2√3) ou C = (3 - √3, 2 + 2√3)