Question

No sistema abaixo, a é um número real constante, escolhido de forma que o sistema admita, em sua solução, apenas um valor para y: X²+2Y-2=0 X²+Y²+Y=a Nestas condições, (a) Determine o valor de a. Dica: tente encontrar o valor de y e estude a equação quadrática que aparecerá. (b) Com o valor de a obtido no item (a), dê o valor de y. (c) Com o valor de a obtido em (a), determine o(s) ponto(s) (x,y) que são solução do sistema

Answer 1

a) Da equação x² + 2y - 2 = 0 podemos dizer que x² = -2y + 2.

Substituindo o valor de x² na equação x² + y² + y = a, obtemos:

-2y + 2 + y² + y = a

y² - y + 2 - a = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau. Então, pela fórmula de Bháskara:

Δ = (-1)² - 4.1.(2 - a)

Δ = 1 - 8 + 4a

Δ = 4a - 7

De acordo com o enunciado, o sistema deve admitir apenas um valor para y.

Sendo assim,

4a - 7 = 0

4a = 7

a = 7/4.

b) Com o valor de a obtido no item anterior, temos a seguinte equação do segundo grau: y² - y + 2 - 7/4 = 0 ∴ y² - y + 1/4 = 0 ∴ 4y² - 4y + 1 = 0.

Pela formula de Bháskara:

Δ = (-4)² - 4.4.1

Δ = 0

$y = \frac{4}{2.4}$

$y = \frac{1}{2}$.

c) Como x² = -2y + 2, então temos que:

x² = -1 + 2

x² = 1

x = 1 ou x = -1.

Portanto, as soluções do sistema são os pontos (1,1/2) e (-1,1/2).