Question

No quadrilátero PQRS abaixo, os lados PQ¯¯¯¯¯¯¯¯ e SR¯¯¯¯¯¯¯ são congruentes, assim como os lados PS¯¯¯¯¯¯¯ e QR¯¯¯¯¯¯¯¯. As linhas tracejadas representam as diagonais desse quadrilátero, e os ângulos internos dele estão destacados de cinza.

M080181H6

A partir desse quadrilátero, e utilizando a congruência de triângulos, considere as quatro sentenças abaixo, sendo que apenas uma delas é verdadeira.

Sentença I: A medida do ângulo formado entre as diagonais desse quadrilátero é 90°.

Sentença II: As diagonais desse quadrilátero se interceptam em seus pontos médios.

Sentença III: As diagonais desse quadrilátero são bissetrizes dos ângulos α e β.

Sentença IV: As medidas dos ângulos α e β são, respectivamente, 60° e 120°.

Qual dessas sentenças é verdadeira?

Answer 1

eu comparei todas e percebi que só pode ser a letra A

Answer 2

Sobre o quadrilátero PQRS é correto o que se afirma em: Alternativa B) II.

Para determinar qual das alternativas é a correta devemos considerar que, os lados PQ e SR são congruentes, assim como os lados PS e QR, isso significa que também os ângulos opostos são congruentes:

                                           $\boxed{\beta = \beta'}\\\\\boxed{\alpha = \alpha'}$

Por tanto, como os ângulos opostos são congruentes temos neste caso um quadrilátero que é paralelogramo, sabendo isso analisamos as afirmações.

I) Incorreta: sabendo que a soma dos ângulos de um quadrilátero é igual a 360°, porém como se tratar de um paralelogramo, a medida do ângulo formado entre um diagonal pode ser um valor que chegue até os 85° (completo seria de 170°)

II) Correta: As diagonais desse quadrilátero se interceptam em seus pontos médios, já que PQO e RSO são congruentes (ALA), assim PO = OR e  QO = OS. Logo, O é o ponto médio das diagonais PR e QS.

III) Incorreta: as diagonais desse quadrilátero não são bissetrizes dos ângulos α e β porque ele é um paralelogramo e não um losango.

IV) Incorreta: como se trata de um paralelogramo, as medidas não necessariamente são esses. Como em qualquer quadrilátero, seus ângulos internos somam 360° (2α + 2β = 360°), poderia ser qualquer outros.

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