Question

No quadrilátero plano ABCD, os ângulos A^B^C e A^D^C e são retos, e AB = AD = 1, BC = CD = 2 e BD é uma diagonal. O cosseno do ângulo B^C^D vale: a) raíz de 3 / 5 b) 2/5 c) 3/5 d) 2 raíz de 3 / 5 e) 4/5

Answer 1

Observe a imagem abaixo.

Ao traçar a diagonal AC formamos dois triângulos retângulos congruentes.

Então, utilizando o Teorema de Pitágoras:

AC² = 1² + 2²

AC² = 1 + 4

AC² = 5

AC = √5

Como temos triângulos retângulos, então podemos calcular o seno e o cosseno do ângulo x, ou seja,

$sen(x) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$cos(x) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Como queremos calcular o cosseno do ângulo BCD, perceba que esse ângulo é igual a cos(2x).

Sabendo que cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), temos que:

$cos(2x) = (\frac{2}{\sqrt{5}})^2- (\frac{1}{\sqrt{5}})^2$

$cos(2x) = \frac{4}{5} - \frac{1}{5}$

$cos(2x) = \frac{3}{5}$

Portanto, a alternativa correta é a letra c).