No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 30° e ABC = 90°. O perímetro do quadrilátero, em cm, é: Me ajudem Pfvr...
a) 11
b)12
c)13
d)14
e)15
Soluções para a tarefa
Resposta:
A B
D C
BC = CD = 3
AB = 2
Δ ABC ⇒ Retângulo ⇒ AC² = 2² + 3² ⇒ AC = √13
ΔACD ⇒ Qualquer ⇒ AC² = AD² + CD² - 2(AD)(CD)cos60°
(√13)² = AD² +3² - 2AD(3)/2
13 = AD² + 9 -3AD
AD² - 3AD - 4 = 0
(AD - 4)(AD + 1) = 0
AD - 4 = 0 ⇒ AD = 4
AD + 1 = 0 ⇒ AD = -1 (não serve!) negativo!
perímetro = 3+3+2+4 = 12 cm
O perímetro do quadrilátero é igual a 12 cm, a alternativa correta é a letra B.
Lei dos cossenos
A lei dos cossenos determina a medida de um lado de um triângulo em função de seus outros lados e de seu ângulo oposto de acordo com a seguinte forma:
a² = b² + c² - 2 . b . c . cosα
Sendo a, b e c as medidas dos lados do triângulo e α a medida do ângulo oposto ao lado a.
Observando o quadrilátero ABCD da figura, tem-se que BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 30° e ABC = 90°. Além disso, se for traçada uma reta AC, será formado um triângulo retângulo em B, logo do teorema de Pitágoras:
AC² = AB² + BC²
AC² = 2² + 3² = √13
Este lado AC também é lado oposto ao ângulo em D, que é igual a 60º. Logo do teorema dos cossenos:
AC² = CD² + AD² - 2 . CD . AD . cos60
13 = 3² + x² - 2 . x . 3 . 0,5
x² - 3x - 4 = 0
Da soma e produto:
Para que um produto seja igual a 4, há duas possibilidades: 1 e 4 ou 2 e 2. Para que o produto seja negativo (-4) e a soma deles seja igual a 3, as raízes são iguais a -1 e 4. O valor -1 não é possível, pois se trata de uma medida de lado, logo o lado AD é igual a 4.
Somando os lados do quadrilátero para cálculo de seu perímetro:
P = 2 + 3 + 3 + 4 = 12 cm
Observa-se para que o valor calculado do lado AD possua alternativa é necessário que o ângulo em D seja igual a 60º e não 30º como se afirmou no enunciado.
Para saber mais sobre lei dos cossenos acesse: https://brainly.com.br/tarefa/25996390
#SPJ2
