Question

No processo de precificação de seu produto, um empreendedor contrata um economista e juntos modelam uma expressão que fornece a quantidade (Q) de produtos em função do seu preço (P):


$\bf Q = 1 + 5 \cdot (0,9)^{3P}$


Porém, neste tipo de relação entre a quantidade e o preço, é mais comum escrever o preço em função da quantidade. Assim, caso esse empreendedor e esse economista queiram escrever essa expressão na forma mais comum, a expressão encontrada deve ser:


a. $\bf P = log_{0,9} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{Q - 1}{5} }$


b. $\bf P = log\dfrac{Q - 1}{5} \cdot \sqrt[3]{0,9}$


c. $\bf P = \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt[5]{Q - 0,9}$


d. $\bf P = 5 \cdot log_{3} (Q - 1)$


e. $\bf P = \dfrac{1}{3} \cdot log_{0,9} (Q - 5)$

Answer 1

• Passando $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\end{gathered}$ para função de p, temos:

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow P=\log_{0,9}\sqrt[3]{\frac{(Q-1)}{5}} \end{gathered} }$. Letra (A).

Desejamos passar $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\end{gathered}$ para função de p.

Para começarmos, iremos jogar logaritmo dos dois lados. Podemos escolher a base do log, perceba que podemos retirar o 3p do expoente. Para isso devemos ter uma base igual ao logaritmando, para assim cortar e tirar o log de um lado. Ficando então:

     $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow \log_{0,9}(Q-1)=5\cdot \log_{0,9}(0,9)^{3P}\end{gathered}$

passamos então o 5 que está multiplicando o $\large\displaystyle\begin{gathered} \log_{0,9}(0,9)^{3P}\end{gathered}$para dividir o $\large\displaystyle\begin{gathered} \log_{0,9}(Q-1)\end{gathered}$.

       $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow \log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5} = 3P\end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow 3P=\log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5} \end{gathered}$

     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow P=\frac{\log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5}}{3}\end{gathered} }$

     $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow P=\log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5}\cdot \frac{1}{3}\end{gathered}$

Perceba que temos um número multiplicando o logaritmo. Logo, utilizaremos a seguinte propriedade: $\large\displaystyle\begin{gathered} a\cdot \log_a(b)\Rightarrow \log _a(b)^a \end{gathered}$. Ficando:

    $\large\displaystyle\begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow P=\log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5}\cdot \frac{1}{3}\end{gathered}$

   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} Q=1+5\cdot(0,9)^{3P}\Rightarrow P=\left(\log_{0,9}\frac{(Q-1)}{5}\right)^{\frac{1}{3}}\end{gathered} }$

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \boxed{\boxed{\green{ P=\log_{0,9}\sqrt[3]{ \frac{(Q-1)}{5}}}}}\ \checkmark\end{gathered} }$

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