Question

No plano complexo, seja o triângulo cujos vértices U, V e W são as respectivas imagens dos números complexos u = 4. (cos 60º + i . sen 60º)2, v = u . i e w = 4 . i147. A área do triângulo UVW, em unidades de superfície, é
a)4(√3-1)
b)4(√3+1)
c)2(2-√3)
d)2(2+√3)
e)1/2(2√3-1)

Answer 1

Resposta:

4(3 - √3)

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos calcular os pontos

u = 4(cos60° + i sen60°)

v = ui = 4(cos60° + i sen 60°)(cos90° + i sen90°)

v = 4(cos150° + i sen150°)

w = 4i¹⁴⁷ = 4 i¹⁴⁴i³ = 4(i⁴)³⁶ i³ = 4*1*(-1) = -4

w = 4 (cos180° - i sen180°)

Geralmente o normal é usar determinante para calcular a área, igual em geometria analítica. Transformando na forma cartesiana temos

$u = 4 \cdot \dfrac 12 + 4\cdot\dfrac{\sqrt 3}{2}i \qquad \quadv = -4 \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} + 4 \cdot \dfrac 12i \qquad \quad w = -4\cdot 1 + 0\,i \vphantom{ \dfrac { \sqrt 3}2}$

$\boxed{u = 2 + 2\sqrt 3\,i } \qquad \qquad\boxed{v = -2\sqrt 3 + 2\,i } \qquad \qquad\boxed{w = -4+ 0\,i \vphantom{\sqrt 3}}$

Assim, a área S é metade do módulo do determinante cujas entradas são as coordenadas dos vértices e uns:

$2S = \left\| \begin{array}{ccc}2&2\sqrt 3 &1\\-2 \sqrt 3&2&1\\-4& 0 &1\end{array}\right\| = 4 \left\| \begin{array}{ccc}1&\sqrt 3 &1\\- \sqrt 3&1&1\\-2& 0 &1\end{array}\right\| = 8\left( 3 - \sqrt 3\right) \\[2ex] \begin{center}{ \boxed{ S = 4 \left( 3 - \sqrt 3\right)} }$

Logo, a area é  4(3 - √3)

Outra maneira:

u = 4(cos60° + i sen60°)

v = 4(cos150° + i sen150°)

w = 4 (cos180° - i sen180°)

Observando a forma trigonométrica, observamos que esses três pontos estão em cima de uma circunferência de raio 4. Assim, se O é a origem podemos calcular a area de UVW por

S = [UVW] = [OVW] + [OUV] - [OUW]

(Obs.: o colchete indica a área). Assim temos

$S = \dfrac{4^2\sin 30^\circ}{2} + \dfrac{4^2\sin 90^\circ}{2} - \dfrac{4^2\sin 120^\circ}{2} = 8 \left( \sin 30^\circ + \sin 90^\circ - \sin 120^\circ \right) \\[2ex]\begin{center}{ \boxed{ S = 4 \left( 3 - \sqrt 3\right)} } \end{center}$

Considerando que fiz de duas formas diferentes, acho que essa é a resposta correta mesmo. Mas posso estar errado já que não está nas alternativas

Edit: Acrescentei uma figura para o segundo caso, marcando os pontos. Note que OU = OV = OW = 4. Assim, podemos calcular a área de UVW subtraindo a area de OUW da área do quadrilatero OUVW.