Question

No plano cartesiano, um ponto P pertence à reta de equação y=x e é equidistante (está a mesma distância) dos pontos A(−1,3) e B(5,7).

Qual a coordenada x do ponto P?
(A) 165
(B) 4
(C) 6
(D) 213

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja o ponto P pertencente à reta de equação $y=x$ equidistantes dos pontos $A~(-1,~3)$ e $B~(5,~7)$.

Seja a coordenada $x=x_0$ do ponto P. Visto que ela pertence à reta de equação $y=x$, observa-se que suas coordenadas serão $(x_0,~x_0)$.

Então, utilizando a fórmula para a distância entre dois pontos, igualamos

$d_{PA}=d_{PB}\\\\\\ \sqrt{(x_0-(-1))^2+(x_0-3)^2}=\sqrt{(x_0-5)^2+(x_0-7)^2}$

Calcule as potências

$\sqrt{{x_0}^2+2x_0+1+{x_0}^2-6x_0+9)}=\sqrt{{x_0}^2-10x_0+25+{x_0}^2-14x_0+49}$

Some os termos semelhantes

$\sqrt{2{x_0}^2-4x_0+10}=\sqrt{2{x_0}^2-24x_0+74}$

Eleve ambos os lados da equação ao quadrado

$|2{x_0}^2-4x+10| = |2{x_0}^2-24x_0+74|$

Calculando a equação modular, teremos:

$2{x_0}^2-4x+10 = 2{x_0}^2-24x_0+74~~\bold{ou}~~2{x_0}^2-4x+10 = -2{x_0}^2+24x_0-74$

As equações se tornam:

$20x_0=64~~\bold{ou}~~4{x_0}^2-28x+84=0$

Resolvendo as equações, temos

$x_0=\dfrac{16}{5}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{7+i\sqrt{35}}{2}~~\bold{ou}~~x=\dfrac{7-i\sqrt{35}}{2}$

Assumindo a solução real, conclui-se que a coordenada $x=x_0$ do ponto P é $\dfrac{16}{5}~~\checkmark$.