no plano cartesiano são dadas os pontos A(-1,2), B(1,3) e C(2,-1). determine as equações:
a) sa reta AB:
b)da reta que passa por C e é perpendicular à AB.
Soluções para a tarefa
Resposta:
a)
Uma reta é uma função de primeiro grau, portanto podemos dizer que a equação de uma reta possui formato y = ax + b.
Para determinar a equação de uma reta reta, precisamos encontrar o valor do coeficiente angular "a" e do coeficiente linear "b".
É possível encontrar o valor desses coeficientes se temos dois pontos da reta. No caso desse exercício, sabemos que a reta passa pelos pontos A = (-1, 2) e B = (1, 3). Portanto:
y = ax + b
2 = a.(-1) + b
3 = a.1 + b
Resolvendo esse sistema, obtemos os valores de "a" e "b".
Na segunda equação, temos:
3 = a + b
b = 3 - a
Substituindo esse valor de b na primeira equação, temos:
2 = -a + b
2 = -a + (3 - a)
2 = 3 - 2a
-1 = -2a
a = 1/2
Se a = 1/2, então b = 3 - a => b = 3 - 1/2 => b = 5/2
Logo, a equação da reta AB será:
y = ax + b
y = (1/2)*x + 5/2
y = x/2 + 5/2
b)
Quando duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma das retas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra.
Traduzindo, se chamarmos de "a1" o coeficiente angular da reta AB e de "a2" o coeficiente angular da reta que passa por C e é perpendicular à reta AB, temos:
a1 = -1/a2
Vimos, no item anterior, que o coeficiente angular da reta AB vale 1/2. Logo, o coeficiente angular da reta que passa por C e é perpendicular à AB será:
a1 = -1/a2
1/2 = -1/a2
a2 = -1/(1/2)
a2 = -2
Como a equação de uma reta tem formato y = ax + b, sabemos que a reta pedida terá a seguinte equação:
y = ax + b
y = -2x + b
Sabemos também que ela passa pelo ponto C = (2, - 1), logo:
y = -2x + b
-1 = -2.2 + b
-1 = -4 + b
b = 3
Portanto, a equação da reta que passa por C e é perpendicular à reta AB é:
y = -2x + 3
Explicação passo-a-passo: