Question

No plano cartesiano, existe uma reta que passa pelos pontos A(0,2) e B(-3,0). Qual equação representa essa reta? a) 3y-2x-6=0 b) 2y-3x-6=0 c) y-3x-2=0 d) 2y-3x=0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~3y-2x-6=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para encontrarmos a equação da reta que passa pelos pontos A e B, utilizaremos matrizes.

De acordo com a condição de alinhamento de três pontos, dados os pontos de coordenadas $(x_1,~y_1)$, $(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$, o determinante composto da seguinte forma deverá ser igual a zero.

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}=0$

Então, substituindo o ponto $(x_3,~y_3)$ por um ponto de coordenadas genéricas, que podem assumir qualquer valor do intervalo que está definido, $(x,~y)$, teremos:

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Ao calcularmos este determinante e iguala-lo a zero, teremos a equação geral da reta. Substitua as coordenadas dos pontos $A~(0,~2)$ e $B~(-3,~0)$.

$\begin{vmatrix}0&2&1\\-3&0&1\\x&y&1\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, teremos:

$\left|\begin{matrix}0& 2 &1 \\ -3&0 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}0&2 \\ -3& 0\\ x &y \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$0\cdot0\cdot1+2\cdot1\cdot x+1\cdot(-3)\cdot y-(2\cdot(-3)\cdot1+0\cdot 1\cdot y+1\cdot 0\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$2x-3y-(-6)=0$

Efetue a propriedade de sinais

$2x-3y+6=0$

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação por $-1$, teremos

$3y-2x-6=0$

Esta é a equação da reta que passa pelos pontos e é a resposta contida na letra a).