Question

No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q. Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o eixo Oy.

Answer 1

Vamos utilizar Pitágoras para resolver.

Os pontos P e Q formam a reta r. O ponto médio do segmento PQ é:
$X_{M} = \frac{24+0}{2} =12 \\ \\ Y_{M}= \frac{0+18}{2} =9$

Portanto, sendo M o ponto médio de PQ, M = (12,9).

A reta r passa por P e Q, vamos achar sua equação:
$0 = 24a + b \\ 18 = 0a + b \\ \\ b = 18 \\ 24a = -18 a = - \frac{3}{4} \\ \\ r: y = -0,75x + 18$

Sabemos que s passa pelo ponto M e é perpendicular a r, então o produto do coeficiente angular de r e s é igual a -1:
$a_r * a_s = -1 \\ \\ a_s = \frac{-1}{- \frac{3}{4} } = \frac{4}{3}$

Agora basta achar a equação de s:
$9 = \frac{4}{3}*12 + b \\ \\ b = 9 - 16 = -7 \\ \\ s: y= \frac{4}{3} x-7$

Precisamos achar o ponto onde s intercepta o eixo Y, quando isto acontece, x = 0. Portanto, s intercepta o eixo Y em A = (0, -7).

O triângulo é formado pelos vértices Q, M e A. Sendo QM e MA os catetos. Precisamos encontrar os módulos de QM e MA:
$QM = (12, 9) - (0, 18) = (12, -9) \\ |QM| = \sqrt{12^2 + (-9)^2} = 15 \\ \\ MA = (0, -7) - (12, 9) = ( -12, -16) \\ |MA| = \sqrt{(-12)^2 + (-16)^2} = 20$

Aplicando Pitágoras:
$Hip = \sqrt{20^2+15^2} =25$