Question

no lançamento de dois dados a variável aleatória x anota a soma dos pontos das faces supriores. Determine os valores de X e a função de probabilidade associada

Answer 1

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⠀⠀☞ A variável aleatória X varia discretamente de 2 à 12 e a função probabilidade associada está descrita na tabela abaixo:

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$\large\green{\boxed{\rm\blue{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\sf x_i&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\&&&&&&&&&&&\\\sf P(X = x_i)&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{3}{36}&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{6}{36}&\frac{5}{36}&\frac{4}{36}&\frac{3}{36}&\frac{2}{36}&\frac{1}{36}\\\end{array}}}}$ ✅

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• ⠀⠀O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número total de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada etapa.

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⠀⠀No lançamento de dois dados, portanto, temos um total de 6 × 6 = 36 resultados possíveis sendo que cada um dos 36 resultados tem 1/36 chances de ocorrer. Sabemos também que as possibilidades de resultado para X estão contidas discretamente no conjunto {2, 12}. Vamos então analisar estes possíveis valores e encontrar a probabilidade de cada um deles ocorrer:

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• x = 2 ⇒ 1 possibilidade [1 & 1] ⇒ 1/36

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• x = 3 ⇒ 2 possibilidades [1 & 2] ∪ [2 & 1] ⇒ 2/36

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• x = 4 ⇒ 3 possibilidades [1 & 3] ∪ [2 & 2] ∪ [3 & 1] ⇒ 3/36

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• x = 5 ⇒ 4 possibilidades [1 & 4] ∪ [2 & 3] ∪ [3 & 2] ∪ [4 & 1] ⇒ 4/36

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• x = 6 ⇒ 5 possibilidades [1 & 5] ∪ [2 & 4] ∪ [3 & 3] ∪ [4 & 2] ∪ [5 & 1] ⇒ 5/36

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• x = 7 ⇒ 6 possibilidades [1 & 6] ∪ [2 & 5] ∪ [3 & 4] ∪ [4 & 3] ∪ [5 & 2] ∪ [6 & 1] ⇒ 6/36

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• x = 8 ⇒ 5 possibilidades [2 & 6] ∪ [3 & 5] ∪ [4 & 4] ∪ [5 & 3] ∪ [6 & 2] ⇒ 5/36

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• x = 9 ⇒ 4 possibilidades [3 & 6] ∪ [4 & 5] ∪ [5 & 4] ∪ [6 & 3] ⇒ 4/36

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• x = 10 ⇒ 3 possibilidades [4 & 6] ∪ [5 & 5] ∪ [6 & 4] ⇒ 3/36

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• x = 11 ⇒ 2 possibilidades [5 & 6] ∪ [6 & 5] ⇒ 2/36

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• x = 12 ⇒ 1 possibilidade [6 & 6] ⇒ 1 * 1/36

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⠀⠀Uma função de probabilidade P analisa os possíveis resultados de uma variável discreta X de tal forma que:

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf p_i = P (X = x_i)}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀De tal forma que:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~i)~~ 0 \leq p(x_i) \leq 1 \\\\ \sf~ii)~~\sum p(x_i) = 1 \end{cases}}$

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⠀⠀Nossa função de probabilidade portanto fica da forma:

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$\large\green{\boxed{\rm\blue{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\sf x_i&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\&&&&&&&&&&&\\\sf P(X = x_i)&\frac{1}{36}&\frac{2}{36}&\frac{3}{36}&\frac{4}{36}&\frac{5}{36}&\frac{6}{36}&\frac{5}{36}&\frac{4}{36}&\frac{3}{36}&\frac{2}{36}&\frac{1}{36}\\\end{array}}}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

⠀⠀☀️ Leia mais sobre função de probabilidade:

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$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$