Question

No intervalo [–1, 8], o número de soluções inteiras da inequação $2^{x} + 7 \ \textgreater \ 2^{3-x}$ é: POR FAVOR PRECISOS URGENTE

Answer 1

Vamos relembrar uma propriedades.

Se tivermos um número qualquer K elevado a uma potência negativa, então ele vai para o numerador, assim :

$\displaystyle K^{a-b} = \frac{K^a}{K^b }$

Temos a seguinte inequação :

$\displaystyle 2^x + 7 > 2^{3-x}$, $x \in [-1,8]$

sabendo que :

$\displaystyle 2^{3-x} = \frac{2^3}{2^x }$

vamos reescrever assim :

$\displaystyle 2^x + 7 > \frac{2^3}{2^x}$  ⇒  $\displaystyle 2^x + 7 > \frac{8}{2^x}$

multiplicando a equação dos dois lados por $2^x$ :

$\displaystyle (2^x)^2 + 7.2^x > 8$  ⇒  $\displaystyle (2^x)^2 + 7.2^x -8 > 0$

faremos uma troca de variável, dizendo que :

$\displaystyle 2^x = Y$

ficando assim :

$Y^2 + 7Y - 8 > 0$

usando bhaskara temos que :

$\displaystyle Y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a }$

substituindo :

$\displaystyle Y = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4.1.(-8)}}{2.1 } \to Y = \frac{-7\pm \sqrt{81} }{2}$

então temos :

$\displaystyle Y_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1$

e

$\displaystyle Y_2 = \frac{-7-9}{2} = -8$

Desfazendo a troca de variável, temos que :

$2^x = -8$ ( Não convém, já que uma exponencial é sempre positiva )

e

$2^x = 1$, logo : x = 0.

O intervalo é de [-1,8]  e 0 pertence a este intervalo.

Portanto há uma solução

$\fbox{x=0}$