Question

No intervalo [0,π] a soma das raízes da equação 3cos²x-7sen²x+2=0 é igual a

Answer 1

Vou deixar a equação apenas em função de seno, porque assim eu tenho certeza que os valores são positivos, o intervalo é [0,π].


1º Sabemos que:

sen² x + cos² x = 1

cos² x =1 - sen² x


Vamos substituir cos² x na equação por 1 - sen² x


$\mathsf{3\cdot cos^{2}x-7\cdot sen^{2}x+2=0}\\\\\\ \mathsf{3\cdot (1-sen^{2}x)-7\cdot sen^{2}x+2=0}\\\\\\ \mathsf{3-3\cdot sen^{2}x-7\cdot sen^{2}x+2=0}\\\\\\ \mathsf{-10\cdot sen^{2}x+5=0}\\\\\\ \mathsf{-10\cdot sen^{2}x=-5}\\\\\\ \mathsf{sen^{2}x=\dfrac{-5}{-10}=\dfrac{1}{2}}\\\\\\ \mathsf{sen\ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{sen\ x=+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$


2º A partir do valor de seno encontramos as raízes e consequentementesua soma

$\mathsf{sen\ x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=arc\ sen\ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}\\\\\\ \left.\begin{matrix} \mathsf{x'=\dfrac{\pi}{4}}\quad \end{matrix}\right|\quad\mathsf{x''=\dfrac{3 \pi}{4}}\\\\\\ \mathsf{S=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{S=\pi} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

A soma das raízes da equação 3cos²(x) - 7sen²(x) + 2 = 0 é igual a π.

A relação fundamental da trigonometria nos diz que sen²(x) + cos²(x) = 1. Então, cos²(x) = 1 - sen²(x).

Substituindo o valor de cos²(x) da equação 3cos²(x) - 7sen²(x) + 2 = 0, obtemos a equação:

3(1 - sen²(x)) - 7sen²(x) + 2 = 0

3 - 3sen²(x) - 7sen²(x) + 2 = 0

5 - 10sen²(x) = 0

10sen²(x) = 5

sen²(x) = 1/2

sen(x) = ±√2/2.

Como sen²(x) = 1/2, então:

cos²(x) = 1 - 1/2

cos²(x) = 1/2

cos(x) = ±√2/2.

Agora, precisamos verificar esses quatro valores que encontramos.

De acordo com o enunciado, o intervalo é [0,π].

Sendo assim, em sen(x) = ±√2/2 temos que x pode assumir os valores π/4 e 3π/4.

Em cos(x) = ±√2/2, o x pode ser π/4 ou 3π/4.

Portanto, podemos concluir que as raízes são π/4 e 3π/4 e a soma das raízes é igual a π/4 + 3π/4 = π.

Para mais informações sobre equação trigonométrica: https://brainly.com.br/tarefa/18806244