Question

No hospital ´´Galileu Galilei´´, foi realizado o isolamento de uma área para receber pacientes infectados pelo novo coronavírus. A área isolada é representada no sistema cartesiano limitada pelo primeiro quadrante, y>- x-a e região circular com CENTRO (a,a). Sabe-se que a circunferência é tangente aos eixos X e Y. Para a resolução deste exercício escolha um valor para a variável ´´a´´, com valores inteiros no intervalo de 3 a 7.
a) Calcule o valor da área isolada para receber os pacientes.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{Para~a=6,~a~\'area~\'e~igual~a~36\pi}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de geometria analítica.

Observe na imagem que a área de isolamento tem centro em $(a,~a)$. Sabemos que a equação reduzida da circunferência é dada por:

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$, na qual $(x_c,~y_c)$ são as coordenadas do centro e $r$ é a medida do raio.

Veja que a circunferência é tangente aos eixos coordenados. De fato, para a equação

$(x-a)^2+(y-a)^2=r^2$, $\forall a>0$, estas condições são satisfeitas

Então consideramos o raio igual a $a$, visto que esta é a distância de seu centro até qualquer ponto a circunferência. Teremos:

$(x-a)^2+(y-a)^2=a^2$

Neste caso, buscamos o valor da área isolada para valores de $a\in[3,~7]$.

Para isso, devemos lembrar a fórmula para a área do círculo.

$S=\pi\cdot r^2$

Escolhendo $r=a=6$, substitua o valor:

$S=\pi\cdot 6^2$

Calcule a potência

$S=36\pi$

Este seria o valor da área para $a=6$.