Question

No desenvolvimento do binômio (x² - 2)⁵ , tem-se: (x² - 2)⁵ = x¹⁰ + mx⁸ + 40x⁶ - 80x⁴ + 80x² + n. Qual é o valor de m + n?

Answer 1

 Olá, novamente!
 
 Elierwb, fazendo uso da definição de Binômio de Newton teremos:

$\\ \mathsf{(a + b)^n = \binom{n}{0} \cdot (a)^{n - 0} \cdot (b)^0 + \binom{n}{1} \cdot (a)^{n - 1} \cdot (b)^1 + ... + \binom{n}{n} \cdot (a)^{n - n} \cdot (b)^n} \\\\\\ \mathsf{(x^2 - 2)^5 = \binom{5}{0} \cdot (x^2)^{5 - 0} \cdot (- 2)^0 + \binom{5}{1} \cdot (x^2)^{5 - 1} \cdot (- 2)^1 + ... + \binom{5}{5} \cdot (x^2)^{5 - 5} \cdot (- 2)^5}$
 
 Mas, como podes notar, não conhecemos os coeficientes do segundo e último termo. Desse modo, podemos encontrá-los aplicando a definição acima, veja:

Coeficiente do segundo termo:

$\\ \mathsf{\binom{5}{1} \cdot (x^2)^{5 - 1} \cdot (- 2)^1 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{5!}{(5 - 1)!1!} \cdot (x^2)^4 \cdot (- 2) =} \\\\\\ \mathsf{\frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} \cdot x^8 \cdot (- 2) =} \\\\\\ \mathsf{5 \cdot x^8 \cdot (- 2) =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{- 10x^8}}$

 Daí, tiramos que $\boxed{\mathsf{m = - 10}}$


Coeficiente do último termo:

$\\ \mathsf{\binom{5}{5} \cdot (x^2)^{5 - 5} \cdot (- 2)^5 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{5!}{(5 - 5)!5!} \cdot (x^2)^0 \cdot (- 2)^5 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{5!}{0! 5!} \cdot x^0 \cdot (- 32) =} \\\\\\ \mathsf{1 \cdot 1 \cdot (- 32) =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{- 32}}$

Daí, tiramos que $\boxed{\mathsf{n = - 32}}$
 
 Por fim, concluímos que $\boxed{\boxed{\mathsf{m + n = - 42}}}$