Question

No desenvolvimento de (X+2)n. X³ (esse n está elevado), o coeficiente de Xn+¹ (esse n também está elevado), é igual a:
a) n³+1
b) n+2
c) 2n(n-1)
d) n²(n+1)
e) n²-3n+2

Answer 1

É de conhecimento público que começaremos por lembrar a fórmula específica do binômio de Newton é de 2n(n-1), ou seja, letra c).

(a+b)^n = E^n k=0 (nk) a^kb^n-k .  

Se expandirmos (x+2)^n utilizando o binômio de Newton, tomando a = x e b = 2, acharemos:  

(x+2)n = EK=0 (nk) x^k2^n-k ;  

Portanto ;  

x³ x (x + 2)^n = E^n k=0 (nk) x^3x^k2^-k = E^n k=0 (nk) x^k+3 2^n-k ;  

Logo, por inspeção da expressão anterior, o termo em x^n+1 ocorre para;  

k + 3 = n + 1 ;  

k = n - 2 ;  

Para obter o coeficiente em específico, substituiremos k = n - 2, então:  

(n n-2) 2^n-(n-2) = (n n-2)^2n-n+2 = 2² (n n -2) = 4(n n-2) ;  

As combinações serão dadas por:  

(n n-2) = n!/[n - (n-2))]! (n-2)! ;  

n!/2!(n-2)! ;  

O fatorial poderá ser escrito como:  

n! = n x (n-1) x (n-2)! ;  

onde o mesmo:  

(n n-2) = n x (n-1) x (n-2)! / 2x (n - 2)! = n(n - 1) / 2 ;  

Portanto, o coeficiente será de:  

4(n n-2) = 4 x n(n-1)/2 = 2n (n-1) ;  

Ou seja, a resposta é a letra c) 2n (n-1)

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)