Question

No desenvolvimento de (x - 1/x)⁸ , qual é o termo independente ?

Answer 1

Olá!

Podemos obter o termo independente levando em conta o seguinte: a definição de Binômio de Newton, e, o fato de o termo independente ser um termo que não possui variável (x), ou seja, $\mathsf{x^0}$. Portanto, devemos encontrar um expoente para o primeiro termo do binômio que seja igual ao expoente do segundo termo do binômio e cuja soma seja oito. Enfim, seja $\mathsf{\lambda}$ esse expoente, então:

$\\ \mathsf{\lambda + \lambda = 8} \\ \mathsf{2 \lambda = 8} \\ \mathsf{\lambda = 4}$
 
 Com efeito, temos:

$\\ \mathsf{Termo \ independente = \binom{8}{4} \cdot (x)^4 \cdot \left ( - \frac{1}{x} \right )^4} \\\\\\ \mathsf{Termo \ independente = \frac{8!}{(8 - 4)!4!} \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^4}} \\\\\\ \mathsf{Termo \ independente = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1} \\\\\\ \boxed{\mathsf{Termo \ independente = 70}}$


Vale lembrar que: 

$\mathsf{(a + b)^n = \binom{n}{0} \cdot (a)^{n - 0} \cdot (b)^0 + \binom{n}{1} \cdot (a)^{n - 1} \cdot (b)^1 + ... + \binom{n}{n - 1} \cdot (a)^{n - (n - 1)} \cdot (b)^{n - 1} + \binom{n}{n} \cdot (a)^{n - n} \cdot (b)^n}$