Question

No desenvolvimento de $(x+2)^{n}$ . x³ , o coeficiente de $x^{n+1}$ é igual a:

A) n³ + 1
B) n + 2
C) 2n(n - 1)
D) n² (n + 1)
E)n² - 3n + 2

Answer 1

Começamos por recordar a fórmula do binómio de Newton:

$(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}.$

Vamos expandir $(x+2)^n$ utilizando o binómio de Newton, tomando $a=x$ e $b=2$:

$(x+2)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k 2^{n-k}.$

Portanto:

$x^3 \times (x+2)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^3 x^k 2^{n-k} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{k+3} 2^{n-k}.$

Por inspeção da expressão anterior, o termo em $x^{n+1}$ ocorre para:

$k+3 = n+1 \iff k = n-2.$

Para obter o coeficiente pretendido, substituímos $k = n-2$ no termo geral:

$\displaystyle {n \choose n-2} 2^{n-(n-2)} = {n \choose n-2} 2^{n-n+2} = 2^2{n \choose n-2} = 4{n \choose n-2}.$

As combinações são dadas por:

$\displaystyle{n \choose n-2} = \dfrac{n!}{[n-(n-2))]!(n-2)!} = \dfrac{n!}{2!(n-2)!}.$

O fatorial pode ser escrito como:

$n! = n \times (n-1) \times (n-2)!,$

donde:

$\displaystyle{n \choose n-2} = \dfrac{n\times(n-1)\times(n-2)!}{2 \times (n-2)!} = \dfrac{n(n-1)}{2}.$

O coeficiente é então:

$\displaystyle 4{n \choose n-2} = 4 \times \dfrac{n(n-1)}{2} = 2n(n-1).$

Resposta: $\textrm{C)}\quad 2n(n-1)$.