Question

No cubo ABCDEFGH, representado na figura, na página de respostas, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo B ^ MH e por x a medida do segmento AM.

a) Exprima cos θ em função de x.

b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso?

c) Mostre que, se x = 4, então θ mede menos do que 45°.

Answer 1

a) I) Considerando que os triângulos retângulos AMB e EMH, temos:

MB² = AM² + AB² ⇒ MB² = x² +1² ⇒ MB = √x²  + 1
MH² = ME² + EH² ⇒ MH² = (x - 1)² + 1² ⇒ MH = $\sqrt{x^2 - 2x + 2}$
e BH = 1√3, porque BH é a diagonal do cubo.

II) Utilizando a lei dos cossenos no triângulo BMH, temos:

BH² = BM² + MH² - 2BM . MH . cosθ ⇒
⇒(√3)² = x² + 1 + x² - 2x + 2 - 2 . $\sqrt{x^2 + 1} . \sqrt{x^2 - 2x + 2} .$  cosθ ⇔
⇔ $\sqrt{x^2 +1} . \sqrt{x^2 - 2x +2}$ . cosθ = x² - x ⇔
⇔ cos θ = $\frac{x^2 - x}{ \sqrt{x^2+1 }. \sqrt{x^2-2x+2}}$ porque

x² + 1 > 0 e x² - 2x + 2 > 0 para todo x  ∈ R



b) Se θ é obtuso, logo:
cos θ < 0 ⇔ $\frac{x^2 - x}{ \sqrt{x^2+1 }. \sqrt{x^2-2x+2}}$ < 0 ⇔
⇔ x² - x < 0 ⇔ 0 < x < 1., e o ponto M pertence ao segmento AE.


c) Para x = 4, temos:
cosθ = $\frac{4^2-4}{ \sqrt{4^2+1}. \sqrt{4^2-2.4+2}}$ = 
= $\frac{12}{ \sqrt{17}. \sqrt{10}}$ ⇔ 
⇔ cosθ = $\frac{12}{ \sqrt{170} }=\frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{170} }$ > 
> $\frac{ \sqrt{85} }{170}$ = $\sqrt{ \frac{1}{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$ e, assim, θ < 45°