Question

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta ↔ AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD = 2r e o ângulo A^ CO é reto. Determine, em função de r,

a) a medida do lado AB do triângulo ABC;

b) a medida do segmento CO.

Answer 1

a) Se α é a medida do ângulo EÂO.
 
I) Usamos o Teorema  de Pitágoras no triângulo retângulo AEO e teremos:
(AE)² + (EO)² = (AO)² ⇒ (AE)² + r² = (3r)² ⇒
⇒ (AE)² = 8r ⇒ AE = 2√2r, logo, 

cos α = AE/AO = 2√2r/3r ⇔ cos α = 2√2/3

II) No triângulo retângulo ADB, teremos:

cos α = AD/AB = 2√2/3 = 2r/AB ⇔
⇔ AB = 3r/√2 ⇔

AB = 3√2/2 r



b)  No triângulo retângulo ACO, teremos:
(CO)² = (AO) . (DO) ⇒ (CO)² = 3r . r ⇒
 ⇒ CO = r√3