Question

No conjunto V do exércicio anterior definamos a adição como fazemos habitualmente no R2 e multiplicação por escalares assim a(x.y)=(ax,0), É entao V, um espaço vetorial sobre R? Porquê?

Answer 1

O conjunto V não é um espaço vetorial, pois não satisfaz a propriedade do elemento unitário na multiplicação por escalar.

Espaço vetorial

Um espaço vetorial é definido como um conjunto o qual possui duas operações chamadas de soma e multiplicação por escalar, as quais verificam oito propriedades. As propriedades de um espaço vetorial estão listadas como:

• Associatividade para a operação de soma.
• Comutatividade da soma de dois elementos, chamados vetores.
• Existência do elemento identidade da operação soma.
• Existência do inverso aditivo, ou seja, todo elemento possui inverso em relação a soma.
• Existe compatibilidade entre a multiplicação por escalar e a multiplicação definida no corpo.
• Existe o elemento identidade na operação multiplicação por escalar.
• A multiplicação por escalar é distributiva em relação a adição.
• A soma é distributiva em relação a multiplicação por escalar.

Para o caso descrito, temos que:

$a(0,y) = (0,0) \neq (0,y) \quad se \quad y \neq 0$

Portanto, o conjunto não satisfaz a propriedade da existência da identidade para a operação da multiplicação por escalar. Como para ser um espaço vetorial todas as propriedades devem ser satisfeitas, temos que, esse conjunto não é um espaço vetorial.

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