Question

No circuito RLC, o capacitor é carregado com carga Q=0 e calculado no instante t=0 neste circuito. Calcule Q(t) do capacitor. (Atribua Q0= 1C; C=1F; L=1H, R=1Ω)

Answer 1

Resposta:

Explicação:

Em um circuito RLC, a carga em um capacitor varia com o tempo.

Aplicando a Lei das Malhas de Kirchoff, chegamos à uma equação diferencial ordinária:

$L\dfrac{d^2q}{dt^2}+R\dfrac{dq}{dt} + \dfrac{q}{C}=0$

Resolvendo, descobrimos que a equação da carga tem a função da forma:

$q(t) = \dfrac{C}{R}e^{-\frac{R}{2L}}[Asen(t\sqrt{\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R^2}{4L^2}}) + Bcos(t\sqrt{\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R^2}{4L^2}})]$

Onde A e B são constante definidas pelas condições de contorno:

Valores que são dados em determinados momentos.

Note que $\sqrt{\dfrac{1}{LC}+\dfrac{R^2}{4L^2}} = \omega_d$

Assim, para esse sistema:

$\omega_d = \sqrt{\dfrac{1}{1.1}+\dfrac{1^2}{4.1^2}} = \sqrt{1 + \dfrac{1}{4}}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Então, a equação da carga nesse circuito (que é a mesma do capacitor) é algo como:

$q(t) = e^{-\frac{t}{2}}[Asen(\dfrac{\sqrt{5}}{2}t) + Bcos(\dfrac{\sqrt{5}}{2}t)]$

Além disso, sabemos que no instante t=0 a carga é 1C, aplicando a condição de contorno:

$q(t) = e^{-\frac{0}{2}}[Asen(0) + Bcos(0)] = 1C = B$

Assim, sabemos que a constante B vale 1 Coulomb.

Se assumirmos a não existência de soluções complexas (ou ignorarmos elas) podemos suprimir o termo com "sen(wt)", já que ele representa a solução com um fator imaginário. Assim, basta considerarmos A=0 para que computemos apenas as soluções reais para q(t).

No fim, temos a seguinte equação:

$q(t) = e^{-\frac{t}{2}}cos(\dfrac{\sqrt{5}}{2}t)$